Demostraciones diversas

Hallar la derivada de:

a) y = arcsenu → seny = u → (seny)' = u' → y'cosy = u' → y' = u' / cosy →                         y' = u' / √ ( 1 – u ² )

b) y = arccosu → cosy= u → (cosy)' = u' → –y'seny = u' → y' = --u' / seny →                         y' = –u' / √ ( 1 – u ² )  

c) y = arctgu→ tgy = u→(tgy)' = u'→( 1 + tg ² y ) y' = u'→( 1 + u²) y' = u'→                          y'^' = u' / ( 1 + u ² )

Tabla de derivadas

Funciones       Derivadas

                                           Función constante

                                           y = k                         y ' = 0

                                           Función identidad

                                           y = x                        y ' = 1

                                           Funciones potenciales

                                           y = u^m                          y' = m u^{m –1} u'

                                           y = u^–m                        y' = –m u^–m–1 u'

                                           Funciones exponenciales

                                           y = e^u                      y' = e^u u'

                                           y = a^u                     y' = a^u La u'

                                           Funciones logaritmicas

                                           y = Lu                    y' = u^–1 u'

                                           y = log_au                y' = u^–1 u' log_ae

                                           Funciones trigonométricas

                                           y = senu                y' = cosu u'

                                           y = cosu                y' = –senu u'

                                           y = tg u                 y' = u'sec² u

                                           y = cotg u             y' = u'cosec² u

                                           y = sec u               y' = u' sec u tg u

                                           y = cosec u           y' = –u' cosec u cotg u  

                                       y = arcsen u          y' = u' / √ ( 1 – u ² )

                                                 y = arccos u          y' = –u' / √ ( 1 – u ² )

                                                 y = arctg u            y' = u' / ( 1 + u ² )

Derivada del logaritmo en base a

Sea f(x)=log_a(x) con f(x)=v -> v=log_a(x) -> a^v =x ->

                                                        ln(a^v)             v.lna

d(a^v)/dx=dx/dx=1 -> d(a^v)/dx=d(e         )/dx=d(e         )/dx=e^{v.lna .}ln(a).v'

= a^v. ln(a).v'=1 ->

a) v'=1/a^v. ln(a)    ó                                                 

b) x.ln(a),v'=1 -> v'= 1 /ln(a).x -> f '(x)=log_a '(x)=[log_a(x)]'= 1/x.ln(a)

¿Qué es e (número 'e')?

Es el límite cuando n tiende a más infinito de la función (n+1/n) elevado a n, o sea,

e = lim (1+1/n)ⁿ

      ^{n → +00}

Por la fórmula de Taylor sabemos que en x₀ = 0 y con f(x)=e^x es

            k=n                                              k=n           k=⁺⁰⁰

e = lim ∑ f '(0).(x-0)^k / k ! = lim ∑ x^k / k! ≤ ∑ 1 / k!= f(1) pues 0 ≤ x ≤ 1

  ^{n → +00} k=0                   ^{n → +00} k=0         k=0

                                                              ^k=+00

Se trata de demostrar que lim (1+1/n)ⁿ = ∑ x^k / k! = e

                                       ^{n → + 00          k=0}

Sea t_n= (1+1/n)ⁿ

Por el desarrollo en serie de las potencias del binomio es

                       k=n                          k=n

t_n = (1+1/n)ⁿ = ∑ C _kⁿ.1^{n - k}.1/n^k = ∑ { [ n¡ / (k¡ . (n-k)¡)] / n^k }

                      k=0                          k=0

Después

                                            k=n

lim t_n = lim {(1+1/n)ⁿ = lim ∑ {n.(n-1)...[n-(k-1)] / k¡} / n^k} =

^{n → +00  n → +00      n → +00} k=0

k=n

lim ∑ {(1/ k¡) .{{1.(1-1/n).....[1-(k-1)/n] }} =

^{n → +00} k=0

k=+00

∑ (1/ k¡) = e

k=0

También, hay que demostrar que

                   n                             n                                n                       +00

e ≤ lim sup ∑ (1/ k¡) ≤ lim inf  ∑ (1/ k¡) ≤ e  -->  lim ∑ (1/ k¡) = e -->  ∑ (1/ k¡) = e

                   0                                 0                                    0                             0

                                                           PROPUESTAS

( P / 100 ) * N = 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1

_{i = n}

= ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

^{i = 1}

= 2n+4(n-1)+6(n-2)+...n/2(n/2+1)

1 * n ! + 2 * ( n – 1 ) ! + 3 * ( n – 2 ) ! +..... + ( n – 2 ) * 3 ! + ( n – 1 ) * 2 ! + n * 1 !

_{i = n}

= ∑ i . { [ n – ( i – 1 ) ] ! }

^{i = 1}

^{i = n}

= ∑ i ! . { [ n – ( i – 1 ) ] }

^{i = 1}

^{-------------------------------------------------------------------------------------------------------------} 

_{i = n !}

∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

^{i = 1}

^{---------------------------------------------------------------------------------------------------------------}∫xdx = d(∫xdx)/dx → x²/2+c =d(x²/2+c)/dx = x → x²-2x+2c=0 →

x=1+-sqr(1-2c) → recta vertical

∫dx = d(∫dx)/dx → x+c =d(x+c)/dx = 1 → x=1-c → recta vertical

1 * n ² + 2 * ( n – 1 ) ² + 3 * ( n – 2 ) ² +..... + ( n – 2 ) * 3 ² + ( n – 1 ) * 2 ² + n * 1 ²

_{i = n}

= ∑ { i ² . [ n – ( i – 1 ) ] }

^{i = 1}

_{i = n}

= ∑ { i . [ n – ( i – 1 ) ] } ²

_{i = 1}

1 * n ² + 2 * ( n – 1 ) ² + 3 * ( n – 2 ) ² +..... + ( n – 2 ) * 3 ² + ( n – 1 ) * 2 ² + n * 1 ²

_{i = n}

= ∑ i . [ n – ( i – 1 ) ] ²

_{i = 1}

_{i = n}

= ∑ i . [ n ² + ( i – 1 ) ² – 2 . n . ( i – 1 ) ]

_{i = 1}

_{i = n}

= ∑ i . ( n ² + i ² – 2 . i + 1 – 2 . n . i + 2 . n )

_{i = 1}

_{i = n}

= ∑ ( i . n ² + i ³ – 2 . i ² + i – 2 . n . i ² + 2 . n . i )

_{i = 1}

_{i = n}

= ∑[i³+i²(-2-2n)+i.(1+2n)]

_{i = 1}

_{---------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

_{i = n}

= ∑ { i ² . [ n – ( i – 1 ) ] }

^{i = 1}

_{i = n}

= ∑ [ i ² . n – i ² . ( i – 1 ) ] ]

^{i = 1}

_{i = n}

= ∑ ( i ² . n – i ³ + i ² )

^{i = 1}

_{i = n}

= ∑ ( i ² . ( n + 1 ) – i ³ )

^{i = 1}

FÓRMULA 

                    N    i=N   N          i           N- i

( 1 + N )  = ∑ (  ) _* 1 _* N           →

                           i=0      i

                    N   i = N   N      N- i

( N + 1 )  = ∑  ( ) N

                             i = 0     i

También:

               N i=N    N       i

( N + 1 ) = ∑    ( ) N

                   i = 0    i 

Casos: N=0 → 1⁰ = C₀⁰.0⁰ = 1.¿? p -

N=1 → 2¹ = C₀¹.1⁰ + C₁¹.1¹ = 1.¿? + 1.1 = -

N=2 → 3² = C₀².2⁰ + C₁².2¹ + C₂².2² = 1.1 + 2.2 + 1.4 = 9

N=3 → 4³ = C₀³.3⁰ + C₁³.3¹ + C₂³.3² + C₃³.3³ = 1.1 + 3.3 + 3.9 + 1.27 = 64

N=4 → 5⁴ = C₀⁴.4⁰ + C₁⁴.4¹ + C₂⁴.4² + C₃⁴.4³ + C₄⁴ .4⁴ = 1.1 + 4.4 + 6.16 +64+ 1.256 = 1+16+96+256+256 = 625

Luego

                Ni = N N    i

( N + 1 ) = ∑ ( ) N

                    i = 0 i

Si N=1 →

              Ni = N N

( 1 + 1 ) = ∑ ( ) →

                  i = 0  i

  i = N N

2  = ∑ ( )

   i = 0  i