¿Qué es e (número 'e')?

Es el límite cuando n tiende a más infinito de la función (n+1/n) elevado a n, o sea,

e = lim (1+1/n)ⁿ

      ^{n → +00}

Por la fórmula de Taylor sabemos que en x₀ = 0 y con f(x)=e^x es

            k=n                                              k=n           k=⁺⁰⁰

e = lim ∑ f '(0).(x-0)^k / k ! = lim ∑ x^k / k! ≤ ∑ 1 / k!= f(1) pues 0 ≤ x ≤ 1

  ^{n → +00} k=0                   ^{n → +00} k=0         k=0

                                                              ^k=+00

Se trata de demostrar que lim (1+1/n)ⁿ = ∑ x^k / k! = e

                                       ^{n → + 00          k=0}

Sea t_n= (1+1/n)ⁿ

Por el desarrollo en serie de las potencias del binomio es

                       k=n                          k=n

t_n = (1+1/n)ⁿ = ∑ C _kⁿ.1^{n - k}.1/n^k = ∑ { [ n¡ / (k¡ . (n-k)¡)] / n^k }

                      k=0                          k=0

Después

                                            k=n

lim t_n = lim {(1+1/n)ⁿ = lim ∑ {n.(n-1)...[n-(k-1)] / k¡} / n^k} =

^{n → +00  n → +00      n → +00} k=0

k=n

lim ∑ {(1/ k¡) .{{1.(1-1/n).....[1-(k-1)/n] }} =

^{n → +00} k=0

k=+00

∑ (1/ k¡) = e

k=0

También, hay que demostrar que

                   n                             n                                n                       +00

e ≤ lim sup ∑ (1/ k¡) ≤ lim inf  ∑ (1/ k¡) ≤ e  -->  lim ∑ (1/ k¡) = e -->  ∑ (1/ k¡) = e

                   0                                 0                                    0                             0