Demostraciones diversas

 

Sobre derivadas:

f''(a)=lim _{x → a} {[f(x)–f(a)]/[x–a]}

Sobre trigonometría:

Hallar la derivada de:

a) y = arcsenu→seny = u→(seny)' = u'→y'cosy = u'→y' = u' / cosy→y' = u' / √ ( 1 – u ² )

b) y = arccosu→cosy = u→(cosy)' = u'→–y'seny = u'→y' = –u' / seny→y' = –u' / √ ( 1 – u ²)

c) y = arctgu→ tgy = u→(tgy)' = u'→( 1 + tg ² y ) y' = u'→( 1 + u²) y' = u'→ y'^' = u' / ( 1 + u ² )

Definiciones:

sena=cop/h; cosa=cad/h; tga=cop/cad; coseca=1/sena; seca=1/cosa; cotga=1/tga;

arcsena=sen^{– 1}a; arccosa=cos^{– 1}a; arctga=tg^–1a; arccoseca=cosec^–1a; arcseca=sec^–1a: arccotga=cotg^–1 a

Ángulo mitad:

sen²a+cos² a = 1 sena = √[1–cos(2a)]/2 → sen(a/2) = √[1–cosa]

→

–sen²a+cos² a = cos(2a) cos a = √[1+cos(2a)]/2 → cos(a/2) = √[1+cosa]

Ángulos suma y resta:

sen(a+b) = sena.cosb+cosa.senb: cos(a+b) = cosa.cosb–sena.senb

→

sen(a–b) = sena.cosb–cosa.senb: cos(a–b) = cosa.cosb+sena.senb

sena.senb = [–cos(a+b)+cos(a–b)] / 2 ; cosa.cosb = [cos(a+b)+cos(a–b)] / 2

→

sena.cosb = [sen(a+b)+sen(a–b)] / 2 ; cosa.senb = [sen(a+b)–sen(a–b)] /

Ángulo doble:

sen(2a) = 2.sena cosa; cos(2a) = cos² a – sen²a

sen²a+cos² a+2.sena cosa = 1+sen(2a) = (sena+cosa)² → sen(2a) = (sena+cosa)²–1 = 2.sena cosa

Sobre coordenadas de un punto:

coordenadas cartesianas o rectangulares:

x=distancia del punto al eje de las abscisas OX = r.cosa

y=distancua del punto al eje de ordenadas OY = r.sena

coordenadas polares:

r=distancia del centro (0,0) al punto (x, y)→ r = √(x³+y²)

a=alfa=ángulo entre el eje OX y el radio r→ a = artg(y/x)

coordenadas esféricas:

r=distancia del centro (0, 0, 0) al punto (x, y, z)→ r = √(x³+y²+z²)

a=alfa=ángulo entre el eje OX y la proyeccion del radio r sobre el plano OXY→ a=r.cosa

ϴ=omega=ángulo entre el eje OZ y el radio r→ ϴ=r.sena.cosb

Sobre cambios de sistemas de numeración:

₁

Un sistema de numeración en base B={b₁, b₂, … , b_n} → x=c₁b₁+c₂b₂+ … +cnbn