Demostraciones diversas

 

Sobre derivadas:

f''(a)=lim _{x → a} {[f(x)–f(a)]/[x–a]}

Sobre trigonometría:

Hallar la derivada de:

a) y = arcsenu→seny = u→(seny)' = u'→y'cosy = u'→y' = u' / cosy→y' = u' / √ ( 1 – u ² )

b) y = arccosu→cosy = u→(cosy)' = u'→–y'seny = u'→y' = –u' / seny→y' = –u' / √ ( 1 – u ²)

c) y = arctgu→ tgy = u→(tgy)' = u'→( 1 + tg ² y ) y' = u'→( 1 + u²) y' = u'→ y'^' = u' / ( 1 + u ² )

Definiciones:

sena=cop/h; cosa=cad/h; tga=cop/cad; coseca=1/sena; seca=1/cosa; cotga=1/tga;

arcsena=sen^{– 1}a; arccosa=cos^{– 1}a; arctga=tg^–1a; arccoseca=cosec^–1a; arcseca=sec^–1a: arccotga=cotg^–1 a

Ángulo mitad:

sen²a+cos² a = 1 sena = √[1–cos(2a)]/2 → sen(a/2) = √[1–cosa]

→

–sen²a+cos² a = cos(2a) cos a = √[1+cos(2a)]/2 → cos(a/2) = √[1+cosa]

Ángulos suma y resta:

sen(a+b) = sena.cosb+cosa.senb: cos(a+b) = cosa.cosb–sena.senb

→

sen(a–b) = sena.cosb–cosa.senb: cos(a–b) = cosa.cosb+sena.senb

sena.senb = [–cos(a+b)+cos(a–b)] / 2 ; cosa.cosb = [cos(a+b)+cos(a–b)] / 2

→

sena.cosb = [sen(a+b)+sen(a–b)] / 2 ; cosa.senb = [sen(a+b)–sen(a–b)] /

Ángulo doble:

sen(2a) = 2.sena cosa; cos(2a) = cos² a – sen²a

sen²a+cos² a+2.sena cosa = 1+sen(2a) = (sena+cosa)² → sen(2a) = (sena+cosa)²–1 = 2.sena cosa

Sobre coordenadas de un punto:

coordenadas cartesianas o rectangulares:

x=distancia del punto al eje de las abscisas OX = r.cosa

y=distancua del punto al eje de ordenadas OY = r.sena

coordenadas polares:

r=distancia del centro (0,0) al punto (x, y)→ r = √(x³+y²)

a=alfa=ángulo entre el eje OX y el radio r→ a = artg(y/x)

coordenadas esféricas:

r=distancia del centro (0, 0, 0) al punto (x, y, z)→ r = √(x³+y²+z²)

a=alfa=ángulo entre el eje OX y la proyeccion del radio r sobre el plano OXY→ a=r.cosa

ϴ=omega=ángulo entre el eje OZ y el radio r→ ϴ=r.sena.cosb

Sobre cambios de sistemas de numeración:

₁

Un sistema de numeración en base B={b₁, b₂, … , b_n} → x=c₁b₁+c₂b₂+ … +cnbn

Logaritmos y Quebrados

 Sea y=log_p/q(x)→(p/q) ^y=x→p^y/q ^y=x→

a) p^y=x.q^y→y=log_p(x.q^y)= log_p(x)+log_p(q^y)=log_p(x)+y.log_p(q)→

                     y=log_p/q(x)=log_p(x.q^y)=log_p(x)+y.log_p(q)→

                     y=log_p(x) / [1–log_p(q)]

b) q ^y=p^y/x→y.log(q)=y.log(p)–log(x)→

                     y=log(x) / [log(p)–log(q)]

Se ha hecho con log (logaritmo decimal ó en base 10

Análogamente se puede hacer con ln (logaritmo neperiano ó en base e)

También:

y=log_p(x) / [1–log_p(q)]=log(x) / [log(p)–log(q)]  ->  [1–log_p(q)]=[log(p)–log(q)] ->

log_p(q)]=1–[log(p)–log(q)] -> 

                                   log_p(q)]=1+[log(q)–log(p)]

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------log(2.n)=2.log(n) -> log(m)=2.log(m/2) si m=2.n (par)

Logaritmos

 

Sea lg_a x=lny=logz -> a^lny      =a^logz        =x 

ln e^a = t → e^t = e^a-> t=a → ln e^a = a

ln e^a =e^lna=a

e^lna=t → ln a=ln t → a=t → e^lna=a

log_ae=t → a^t=e →ln a^t=lne=1->t.lna=1 →t=1/lna → log_ae= 1/lna

log_ax=t → a^t=x → ln a^t=t.lna=lnx → t=log_ax=lnx/lna

INTEGRAL POR PARTES

Por la derivada del producto:

[f(x).g(x)]' = f '(x).g(x)+f(x).g '(x) →

f '(x).g(x) = [f(x).g(x)]'–f(x).g '(x) →

INT [f '(x).g(x)] = INT {[f(x).g(x)]'–f(x).g '(x)} →

INT [f '(x).g(x)] = f(x).g(x)– INT [f(x).g '(x)] ó 

INT [f'(x).g '(x)] = f(x).g(x)– INT [f '(x).g (x)]

Demostraciones diversas

Hallar la derivada de:

a) y = arcsenu → seny = u → (seny)' = u' → y'cosy = u' → y' = u' / cosy →                         y' = u' / √ ( 1 – u ² )

b) y = arccosu → cosy= u → (cosy)' = u' → –y'seny = u' → y' = --u' / seny →                         y' = –u' / √ ( 1 – u ² )  

c) y = arctgu→ tgy = u→(tgy)' = u'→( 1 + tg ² y ) y' = u'→( 1 + u²) y' = u'→                          y'^' = u' / ( 1 + u ² )

Tabla de derivadas

Funciones       Derivadas

                                           Función constante

                                           y = k                         y ' = 0

                                           Función identidad

                                           y = x                        y ' = 1

                                           Funciones potenciales

                                           y = u^m                          y' = m u^{m –1} u'

                                           y = u^–m                        y' = –m u^–m–1 u'

                                           Funciones exponenciales

                                           y = e^u                      y' = e^u u'

                                           y = a^u                     y' = a^u La u'

                                           Funciones logaritmicas

                                           y = Lu                    y' = u^–1 u'

                                           y = log_au                y' = u^–1 u' log_ae

                                           Funciones trigonométricas

                                           y = senu                y' = cosu u'

                                           y = cosu                y' = –senu u'

                                           y = tg u                 y' = u'sec² u

                                           y = cotg u             y' = u'cosec² u

                                           y = sec u               y' = u' sec u tg u

                                           y = cosec u           y' = –u' cosec u cotg u  

                                       y = arcsen u          y' = u' / √ ( 1 – u ² )

                                                 y = arccos u          y' = –u' / √ ( 1 – u ² )

                                                 y = arctg u            y' = u' / ( 1 + u ² )

Derivada del logaritmo en base a

Sea f(x)=log_a(x) con f(x)=v -> v=log_a(x) -> a^v =x ->

                                                        ln(a^v)             v.lna

d(a^v)/dx=dx/dx=1 -> d(a^v)/dx=d(e         )/dx=d(e         )/dx=e^{v.lna .}ln(a).v'

= a^v. ln(a).v'=1 ->

a) v'=1/a^v. ln(a)    ó                                                 

b) x.ln(a),v'=1 -> v'= 1 /ln(a).x -> f '(x)=log_a '(x)=[log_a(x)]'= 1/x.ln(a)