EL CÓDIGO ENIGMA PARA LOS NÚMEROS

No entro en contiendas como las que tuvieron lugar lugar in the  World War II, bélicas y cruentas, y que terminaron con las bombas de fisión nuclear que los americanos lanzaron sobre Hiroshima y Nagasaki causando cientos de miles de muertos entre los japoneses, aliados de los nazis, no alemanes, obligando a aquéllos a rendirse. Era necesario un código, unas claves, como las de los bancos, para que los nazis y sus aliados no descifraran los mensajes de los americanos y sus aliados. Éste fue el codigo Enigma que posibilitó montar una vasta operación con transmisiones fluidas, seguras y desviadoras de la atención, por si acaso. En éstas, los nazis ni se enteraron y, cuando lo hicieron, ya era demasiado tarde. El código enigma no fue suficiente pero si necesario a todas luces para mi. Luego la victoria la remataron las contiendas y las bombas rindiendose finalmente los nazis ante la evidencia.

Pero ese era un código alfanumérico, de letras y números de las cartas y localizaciones claves. Ahora apunto a un código numérico, exclusivo para los números naturales y más concretamente las unidades o dígitos; también se llaman así, Las unidades son el pilar troncal de los números. Me di cuenta que todos estos números inclusive los cercanos al infinito matemático (números para mi; astros del universo infinito para Newton) no eran más que las unidades concatenándolas entre si, por la izquierda o por la derecha (estas mis unidades eran las manzanas de Newton). Si a los astros y la manzana los une el mismo pegamento (fuerza) llamado fuerza de gravedad, el pegamento (propiedad) que une a las unidades y los números se llama concatenación. Ésta observación me ha valido el reconocimiento por Don Lorenzo Lopez Laguna, eminencia donde las haya, de ser considerado al nivel de Newton. Como es el mayor científico de la historia, el baremo incluye a todos los demás. Y mi libro "Divagando e  indagando con las unidades matemáticas" y mi historial académico me han podido valer una invitación a la Real Sociedad Matemárica Española, que acepté.

Y sin más dilaciones expongo mi código o método de encriptación de los números

ENCRIPTACIÓN DE LOS NÚMEROS

Un modo S es analizar las unidades. pues los dígitos que forman los números son unidades concatenadas.

Se forma la tabla o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de la misma la  cifra de las unidades del resultado de calcular x^y. En el eje de las abscisas hay formas de números y en el de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U indefinidamente en bloques cada 4 columnas, formando cuaternas.

En resúmen, U es la matriz simplificada de

Y     0                            1                            2 ...

   X  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...

0      - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...

1      - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

2      1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...

3      1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...

4      1 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...

5      1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...

6      1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...

7      1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...

8      1 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...

9      1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...

O sea, la matriz U de las unidades para todo n e N es:

Y  

   X 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0       0        0        0       0

1       1        1        1       1

2       2        4        8       6

3       3        9        7       1

4       4        6        4       6

5       5        5        5       5

6       6        6        6       6

7       7        9        3       1

8       8        4        2       6

9       9        1        9       1

NOMENCLATURA PARA LAS FORMAS DE LAS CUATERNAS DE U

Elementos de la cuaterna de U pertenecen a la misma forma si son iguales topológicamente.

Se indica a la derecha la unidad inicial de cada forma de las cuaternas.

Las formas de las cuaternas son:

{4n+1}                                       e₁    →    e₁ = 2

{4n+2}                                       e₂    →    e₂ = 3

{4n+3}                                       e₃   →    e₃ = 7

{4n+4}                                       e₄   →    e₄ = 8

{4n+1, 4n+2}                              -

{4n+1, 4n+3}                             e₅¹ →  e₅¹ = 4

{4n+1, 4n+4}                              -

{4n+2, 4n+3}                              -

{4n+2, 4n+4}                             e₅² →  e₅² = 9

{4n+3, 4n+4}                                    -

{4n+1, 4n+2, 4n+3}                    -

{4n+1, 4n+2, 4n+4}                    -

{4n+1, 4n+3, 4n+4}                    -

{4n+2, 4n+3, 4n+4}                    -

{4n+1, 4n+2, 4n+3, 4n+4}         e₆  → 0  = e₆₁

                                                         → 1 = e₆₂

                                                         → 5 = e₆₃

                                                         → 6 = e₆₄

Las formas a las que no corresponde unidad no existen en U.

RELACIONES DE EQUIVALENCIA EN LAS CUATERNAS DE U

0, 1, 5, 6   -   e₆₁, e₆₂, e₆₃, e₆₄ (elementos distintos obtenidos de igual forma)

                                                                 CORRESPONDENCIA

2, 3, 7, 8   -   e₁ , e₂, e₃ , e₄ (elementos distintos obtenidos de distinta forma)

                                                          APLICACIÓN BIYECTIVA

    4, 9       -   e₅¹, e₅² (pares similares obtenidos de distinta forma)

FUNCIÓN DE ENCRIPTACIÓN

Sean los conjuntos: N de los números naturales,

U = { u _i } _{i e N} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } de las unidades, y

F = { e₆ , e₆ , e₁ , e₂ , e₅¹, e₆ , e₆ , e₃ , e₄ , e₅²} de las formas de las cuaternas de U,

con 0 ≤ u _i ≤ 9, 1 ≤ e _i ≤ 6, u _i ∈ U, e _i ∈ F, e i, n ∈ N,

Una encriptación no biyectiva de U: { e₆, e₆, e₁, e₂, e₅¹, e₆, e₆ , e₃, e₄ , e₅²}

Cambiando los elementos e₆∈F por los correspondientes elementos e₆₁, e₆₂, e₆₃, e₆₄ de F' ,

donde F' = { e₆₁ , e₆₂ , e₁ , e₂ , e₅¹, e₆₃ , e₆₄ , e₃ , e ₄ , e₅²}

queda U con una encriptación (biyectiva)_: {e₆₁, e₆₂, e₁, e₂, e₅¹, e₆₃, e₆₄, e₃, e₄ , e₅²}

Demostración:

Se definen las funciónes f : N → U, g : U → F y h = f o g : N → F dadas por

f ( n ) = u _i ( cifra de las unidades de n ) y g ( u _i ) = e _i ( formas de las unidades )

Se hace la descomposición decimal n = ∑ u _i * 10 ⁱ y f ( n ) = u ₀

_{i ∈ N}

f es lineal y h no biyectiva, pues g no lo es.

Demostración de la linealidad:

Se definen la familia de las funciones multilineales { f _i } _{i ∈ N}, con f _i : N → U,

haciendo corresponder cada función f _i a un número su cifra de las unidades siendo

f _i ( n ) = u _i∈U y g ( u _i ) = e _i ∈F

Notas:

a) f = { f _i } _{i ∈ N} = { f₁ , f ₂ , . . . , f _i . . . . . } _{i ∈ N}

b) Se hace la descomposición decimal n = ∑ u _i * 10 ⁱ y f ( n ) = u ₀

ⁱ ∈ ^N

c) La cifra de las unidades de la unidad es la propia unidad, o sea, f _i ( u _i ) = u _i .

Así, la encriptación h: f o g : N → F es:

h ( n ) = ( f o g ) ( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑ u _i * 10 ⁱ ) = g ( ∑ f ( u _i ) * 10 ⁱ ) ) =

_{i ∈ N i ∈ N}

g ( ∑( f ₁, f ₂, . . . , f _i , . . . . . ) ( u _i ) * 10 ⁱ ) = g ( { f ₁ ( u ₁ ), f ₂ ( u ₂ ) , . . . , f _i ( u_{i i} ) , . . } ) _{i ∈ N} =

_{i ∈ N}

{ g ( f ₁ ( u ₁ ) ), g ( f ₂ ( u ₂ ) ), . . . . . , g ( f _i ( u _i ) ) , . . . } _{i ∈ N} =

{ ( f _i o g ) ( u ₁ ), ( f ₂ o g ) ( u ₂ ), . . . . . , ( f _i o g ) ( u _i) , . . . } _{i ∈ N} =

{ ( f _i o g ) ( u _{1 ,} u _{2 ,} . . . . . u _i , . . . ) } _{i ∈ N} = { h ( u _{1 ,} u _{2 ,} . . . . . u _i , . . . ) } _{i ∈ N} =

h ( n ) = { e₆₁ , e₆₂ , e₁ , e₂ , e₅¹, e₆₃ , e₆₄ , e₃ , e₄ , e₅² }∈ F, con

g ( { u ₁ , u ₂ , . ., u _{i, ,} . . . . . } ) = { e₆₁ , e₆₂ , e₁ , e₂ , e₅¹, e₆₃ , e₆₄ , e₃ , e₄ , e₅² } ∈ F, pues f = 1_U(identidad )

Está bien definida h.

Por ejemplo, una encriptación del número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 es,

-según las unidades del eje de ordenadas de U:

h { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e₆ e₆ e₁ e₂ e₅¹ e₆ e₆ e₃ e₄ e₅² }

-si queremos que sea la encriptación biyectiva:

h ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e₆₁ e₆₂ e₁ e₂ e₅¹ e₆₃ e₆₄ e₃ e₄ e₅² }

-según las formas del eje de abscisas de U (no biyectiva):

h ' ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = {e₆e₆e₆e₆ e₆e₆e₆e₆ e₁e₂e₃e₄ e₁e₂e₃e₄

e₅¹e₆e₅¹e₆ e₆e₆e₆e₆ e₆e₆e₆e₆ e₁e₂e₃e₄ e₁e₂e₃e₄ e₅²e₆e ₅²e₆ }

-siendo su correspondiente biyectiva:

h ' ' ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } ={e₆₁e₆₁e₆₁e₆₁ e₆₂e₆₂e₆₂e₆₂ e₁e₂e₃e₄ e₁e₂e₃e₄

e₅¹e₆e₅¹e₆ e₆₃e₆₃e₆₃e₆₃ e₆₄e₆₄e₆₄e₆₄ e₁e₂e₃e₄ e₁e₂e₃e₄ e₅²e₆e ₅²e₆ }

Las encriptaciones no biyectivas son más dificiles de descifrar que las biyectivas..