Cinco ejercicios de series finitas (ó parciales)

Carlos Torres Miranda

Facultad de Ciencias

Estudiante de Grado de Matemáticas de la UNED

Cinco series matemáticas finitas

Five finite matematical series

Calcular las siguientes series matemáticas:

1.-

_i=n

∑ i . ( i – 1 )

ⁱ⁼¹

= [ n . ( n + 1 ) . ( 2 . n + 1 ) ] / 6 - [ ( 1 + n ) . n ) / 2

= [ 2 . n³ + 3 . n² + n – 3 . n – 3 . n² ] / 6

= [ 2 . n³ - 2 . n ] / 6

= [ n . ( n + 1 ) . ( n – 1 ) ] /3

=  n . ( n + 1 ) . ( n – 1 )

                   3

    _{i = +1}

     ∏ [ n + i ]

= i = -1              

             3

2.-

 _{i = n}

  ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

i = 1

= 1 . n + 2 . ( n – 1 ) + 3 . ( n – 2 ) +....+ ( n – 2 ) . 3 + ( n – 1 ) . 2 + n . 1

  _{i = n           i = n}

= ∑ ( i . n ) – ∑ [ i . ( i – 1 ) ]

 ^{i = 1            i = 1}

                                    _{i = n}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] . n ² – ∑ { i . ( i – 1 ) ]

                                           ^{i = 2}

                                 ^{i = n – 1}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] . n ² – ∑ [ i . ( i + 1 ) ]

                                   ^{i = 1}

                                                                                      ^{i = n – 1}

= n ² . [ ( n + 1 ) / 2 ] – { [ 1 + ( n – 1 ) ] . (n – 1 ) / 2 } – ∑ i ²

                                                                                         ^{i = 1}

                                                              _{i = n – 1}

= n ² . [ ( n + 1 ) / 2 ] – [ ( n ² – n ) / 2 ] – ∑ i ²

                                                                 ^{i = 1}

                                         _{i = n – 1}

= ( n ³ + n ² – n ² + n ) / 2 – ∑ i ²

                                           ^{i = 1}

= ( n ³ + n ) / 2 – { [ n . ( n + 1 ) . ( 2 . n + 1 )] / 6 – n ² }

= { 3 . n ³ + 3 . n + 6 . n ² – ( n ² + n ) . ( 2 . n + 1 ) } /6

= ( 3 . n ³ + 3 . n + 6 . n ² – 2 . n ³ – 2 . n ² – n ² – n ) / 6

= ( n ³ + 3 . n ² + 2 . n ) / 6

= [ n . ( n ² + 3 . n + 2 ) ] / 6

= [ n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) ] / 6

     _{i = 2}

     ∏ [ n + i ]

= ^{i = 0}              

           6

 = ( n + 2 ) !       

    ( n – 1 ) ! . 3 !

      ( n + 2 ) !                                         

=    ( ( n + 2 ) – ( n – 1 ) ) ! . ( n – 1 ) !
   ( n + 2 )

= ( )

    ( n – 1 )

         ( n + 2 )

= C( n – 1 ) , poniéndolo como las combinaciones sin repetición de ( n + 2 )

                       elementos tomados de ( n – 1 ) en ( n – 1 ).

3.-

 _{i = n}

  ∑ ( n + i ) . ( n - i )

^{i = 0}

  ^{i = n}

= ∑ ( n ² – i ² )

  ^{i = 0}

   ^{i = n      i = n}

= ∑ n ² – ∑ i ²

 ^{i = 0     i = 0}

= ( n + 1 ) . n ² – [ n . ( n + 1 ) . ( 2 . n + 1 ) / 6 – 0 ]

= n ³ + n ² – n . ( 2 . n ² + 3 . n + 1 ) / 6

= ( 6 . n ³ + 6 . n ² – 2 . n ³ – 3 . n ² – n ) / 6

= n . ( 4 . n ² + 3 . n – 1 ) / 6

= 4 / 6 . n . ( n + 1 ) . ( n – 1 / 4 )

= ( 1 / 6 ) . n . ( n + 1 ) . ( 4 . n – 1 )

4.-

 _{i = n}

  ∑ ( n + i ) ²

^{i = 0}

  ^{i = n}

= ∑ ( n ² + 2 . n . i + i ² )

 ^{i = 0}

= n ² . ( n + 1 ) + 2 . n . n . ( n + 1 ) / 2 + n . ( n + 1 ) . ( 2 n + 1 ) / 6

= n . ( n + 1 ) . [ n + n + ( 2 . n + 1 ) / 6 ]

= n . ( n + 1 ) . ( 14 . n + 1 )

                      6

5.-

 _{i = n}

  ∑ ( n + i ) ³

i = 0

  ^{i = n}

= ∑ ( n ³ + 3 . n ² . i + 3 . n . i ² + i ³ )

 ^{i = 0}

 ^{i = n                  i = n           i = n    i = n}

= ∑ n ³ + 3 . n ² . ∑ i + 3 . n .∑ i ² + ∑ i ³

  ^{i = 0                   i = 0            i = 0     i = 0}

= ( n + 1 ) . n ³ + 3 . n ² . n . ( n + 1 ) / 2 + 3 . n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) . ( 2 . n + 1 ) / 6 +[n . ( n + 1 )/2] ²

= n . ( n + 1 ) . [ n ² + 3 . n ² / 2 + ( 2 . n ² + 5 . n + 2 ) / 2 + ( n ² + n ) / 4 ]

= n . ( n + 1 ) . ( 4 . n ² + 6 . n ² + 4 . n ² + 10 . n + 4 + n ² + n ) / 4

= n . ( n + 1 ) . ( 15 . n ² + 11 . n + 4 )

                               4