TEOREMA

Si x, y e N con 0 < x, y < 9 y x^y = y^x . Entonces x e y no pueden ser impares.

Demostración:

Si x e y son números naturales impares, con x ^y = y ^x = t, entonces t e N

Formamos el siguiente cuadro

     y  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 x

 0      - 0 0 0 0 0 0 0 0 0

 1      - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

 2      1 2 4 8 6 2 4 8 6 2

 3      1 3 9 7 1 3 9 7 1 3

 4      1 4 6 4 6 4 6 4 6 4

 5      1 5 5 5 5 5 5 5 5 5

 6      1 6 6 6 6 6 6 6 6 6

 7      1 7 9 3 1 7 9 3 1 7

 8      1 8 4 2 6 8 4 2 6 8

 9      1 9 1 9 1 9 1 9 1 9

donde el interior de la matriz contiene las terrminaciones (cifra de las unidades)

de x ^y, con 0 < x, y < 9

Si además x e y son impares, la matriz queda:

    y  1 3 5 7 9

x
1     1 1 1 1 1

3     3 7 3 7 3

5     5 5 5 5 5

7     7 3 7 3 7

9     9 9 9 9 9

Pero el interior de la misma debería ser una matriz simétrica pues cambiando

x por y debe ser x ^y = y ^x, y por tanto terminar en la misna cifra para 0 < x, y < 9.

Pero la matriz ya no es simétrica cuando x e y son impares.

Luego, por el principio de contraposición, también llamado de reducción al

absurdo, no pueden ser impares                                                                 [c.q.d.]