Resolver x^y = y^x si x e y son naturales y distintos.

Demostración:

Notamos abreviadamente:

• raíz cuadrada de x = sqrt (x)
• raíz en base y de x = root at base y of x = rt_y (x)

Sean x, y e N y x^y = y^x = t e N.

Por el blog del 18 de abril x e y no pueden ser simultáneamente impares.

Tampoco pueden ser x par e y impar, pues si así fuera x^y e y^x no serían iguales al tener distinta paridad ámbos miembros de la igualdad.

Luego x e y son pares, por lo que y = 2kx, con k∈N

Por simetría da lo mismo trabajar con la x que con la y.

Por otro lado:

x = log_y (x^y) = rt_y (y^x) = log_y (t)

y = log_x (y^x) = rt_x (x^y) = log_x (t)

Sea x/y = 2k = t e N → x = ty = 2ky ∈ N

Si x<y, entonces:

1 = x^y / y^x = [ ( x . . ^{y )} . . x ) / ( y . . ^{x )} . . y ) ]

= [ (x / y ) . . ^{x )} . . ( x / y ) ] . ( x . . ^{y - x )} . . x )

= t ^x . x ^{y - x )}

Sustituyendo adecuadamente en x ^y y en y ^x obtenemos esto:

1 = x^y / y^x = x ^{log x ( y )} / y ^{log y ( x )} = x ^{x . log x ( y )} / y ^{y . log y ( x )}

Si son naturales, dando valores a k, y por simetría de x e y:

k = 1 → x = 2ky →par (x, y) = (1, 2) → 1²=2^{1 →} no es solución

                                               = (2, 4) y (4, 2) → 2⁴=4² y 4²=2⁴ → soluciónes

                                               = (3, 6) y (6, 3) → 36=63  → no es solución

                                                      ............................                                                             Si k>1 -> Si x.exp(ky)=y.exp(kx) -> x^yk > y^xk notiene soluciones

Esto es debido a que el grado. orden o exponente (ky=2kx) del primer miembro es mayor que el del segundo (kx), y el mayor es el que manda.

Si x e y son enteros son soluciones los pares  

                                   (2, 4), (4, 2), (-2, -4) y (-4, -2)

Si son racionales:

Si son reales:

Si son imaginarios o complejos: