MÉTODO
DE ENCRIPTACIÓN
NO
BIYECTIVO DE LOS NÚMEROS
Carlos
Torres Miranda
Un modo S es
analizar las unidades. pues los dígitos que forman los números son
unidades concatenadas.
Se forma la tabla
o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de
la misma la cifra de
las unidades del resultado de calcular xy.
En el eje de
las abscisas hay formas de números y en el
de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U
indefinidamente en bloques cada 4 columnas,
formando cuaternas.
En resúmen, U es
la matriz simplificada de
0 1 2 ...
y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
x
0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1
4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1
7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1
8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz U de las unidades para todo n e N es:
y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
x
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 4 8 6
3 3 9 7 1
4 4 6 4 6
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 9 3 1
8 8 4 2 6
9 9 1 9 1
NOMENCLATURA PARA LAS
FORMAS DE LAS CUATERNAS DE U
Elementos de la
cuaterna de U pertenecen a la misma forma si son iguales
topológicamente.
Se indica a la
derecha la unidad inicial de cada forma de las cuaternas.
Las formas de las
cuaternas son:
{4n+1}
e1 → 2
{4n+2}
e2 → 3
{4n+3}
e3 → 7
{4n+4}
e4 → 8
{4n+1,
4n+2} -
{4n+1,
4n+3} e51 → 4
{4n+1,
4n+4} -
{4n+2,
4n+3} -
{4n+2,
4n+4} e52 → 9
{4n+3, 4n+4} -
{4n+1, 4n+2, 4n+3} -
{4n+1, 4n+2,
4n+4,} -
{4n+1, 4n+3, 4n+4} -
{4n+2, 4n+3, 4n+4} -
{4n+1, 4n+2, 4n+3,
4n+4} e6 → 0, 1, 5, 6
Las formas a las
que no corresponde unidad no existen en U.
RELACIONES
DE EQUIVALENCIA EN LAS CUATERNAS DE U
0, 1, 5, 6 - e6
(elementos iguales)
2, 3, 7, 8 - e1
, e2,
e3
, e4 (elementos
distintos)
4, 9 -
e51,
e52
(pares iguales)
FUNCIÓN
DE ENCRIPTACIÓN
Sean los
conjuntos: N de los números
naturales,
U * = { u i }
i e N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } (conjunto de
las unidades)
y
F
= { e1
,
e2
, e3
, e4
, e51
, e
52,
e
6 }
(conjunto
de las formas ei
de las cuaternas de U),
con 0 ≤ u i ≤ 9, 1 ≤ e i ≤ 6, u i ∈ U *, e i ∈ F, i, n ∈ N y u ∈ U.
Se definen las funciónes f : N → U *, g : U * → F y h = f o g : N → F dadas por
f ( n ) = u i
( cifra de las unidades de n ) y g ( u i ) = e i (
formas de las unidades )
Se hace la descomposición decimal n = ∑ u i * 10 i y f ( n ) = u 0
i ∈
N
f es lineal y h no
biyectiva, pues g no lo es.
Se definen la
familia de las funciones multilineales { f i } i ∈
N, con f i : N → U*,
haciendo
corresponder cada función f i a un número su cifra de
las unidades siendo
f i (
n ) = u
i∈
U * y
g ( u i
)
= e i
∈F
Notas:
a) f = { f i
} i ∈
N = { f1 , f 2 , . . . , f i
. . . . . } i ∈
N
b) Se hace la
descomposición decimal n
= ∑ u i
* 10 i
y f ( n ) = u 0
i ∈
N
c) La cifra de
las unidades de la unidad es la propia unidad, o
sea, f i
( u i
) = u i
.
Así, la encriptación h: f o g : N → F es:
h ( n ) = ( f o g ) ( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑ u i * 10 i ) = g ( ∑ f ( u i ) * 10 i ) ) =
i
∈
N i ∈
N
g
( ∑( f 1,
f 2,
. . . , f i
, . . . . . ) ( u
i
) * 10 i
) = g (
{ f
1
( u 1
), f 2
( u 2
)
,
. . . , f i
(
ui
i )
, . . }
) i∈N =
i ∈
N
{
g ( f 1
( u 1
) ), g ( f 2
( u 2
)
), . . . . . , g ( f i
(
u
i )
) , . . . }
i ∈
N
=
{
( f i
o
g ) ( u 1
),
( f 2
o
g ) ( u 2
),
. . . . . , ( f i
o
g ) ( u i)
, . . . }
i ∈
N
=
{
( f i
o
g ) ( u 1
,
u 2
,
. . . . . u i
,
. . . ) }
i ∈
N
=
{ h ( u 1
,
u 2
,
. . . . . u i
,
. . . ) }
i ∈
N
=
h ( n ) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e51 , e 52, e 6 }∈ F, con
g
( { u 1
,
u 2
,
. ., u i,
,
. . . . . } ) =
{
e1
,
e2
, e3
, e4
, e51
, e
52,
e
6 }
∈
F, pues f = 1U*
(función identidad )
Está
bien definida h.
Así
definida, por ejemplo, una encriptación del número 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 es:
h
{ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e6,
e6
e1
e2
e51
e6
e3
e3
e4
e52
}
Observación: g no se puede desencriptar
fácilmente al no ser biyectiva.
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