Resolver x^y = y^x si x e y son naturales y distintos.

Demostración:

Notamos abreviadamente:

• raíz cuadrada de x = sqrt (x)
• raíz en base y de x = root at base y of x = rt_y (x)

Sean x, y e N y x^y = y^x = t e N.

Por el blog del 18 de abril x e y no pueden ser simultáneamente impares.

Tampoco pueden ser x par e y impar, pues si así fuera x^y e y^x no serían iguales al tener distinta paridad ámbos miembros de la igualdad.

Luego x e y son pares, por lo que y = 2kx, con k∈N

Por simetría da lo mismo trabajar con la x que con la y.

Por otro lado:

x = log_y (x^y) = rt_y (y^x) = log_y (t)

y = log_x (y^x) = rt_x (x^y) = log_x (t)

Sea x/y = 2k = t e N → x = ty = 2ky ∈ N

Si x<y, entonces:

1 = x^y / y^x = [ ( x . . ^{y )} . . x ) / ( y . . ^{x )} . . y ) ]

= [ (x / y ) . . ^{x )} . . ( x / y ) ] . ( x . . ^{y - x )} . . x )

= t ^x . x ^{y - x )}

Sustituyendo adecuadamente en x ^y y en y ^x obtenemos esto:

1 = x^y / y^x = x ^{log x ( y )} / y ^{log y ( x )} = x ^{x . log x ( y )} / y ^{y . log y ( x )}

Si son naturales, dando valores a k, y por simetría de x e y:

k = 1 → x = 2ky →par (x, y) = (1, 2) → 1²=2^{1 →} no es solución

                                               = (2, 4) y (4, 2) → 2⁴=4² y 4²=2⁴ → soluciónes

                                               = (3, 6) y (6, 3) → 36=63  → no es solución

                                                      ............................                                                             Si k>1 -> Si x.exp(ky)=y.exp(kx) -> x^yk > y^xk notiene soluciones

Esto es debido a que el grado. orden o exponente (ky=2kx) del primer miembro es mayor que el del segundo (kx), y el mayor es el que manda.

Si x e y son enteros son soluciones los pares  

                                   (2, 4), (4, 2), (-2, -4) y (-4, -2)

Si son racionales:

Si son reales:

Si son imaginarios o complejos:                           

MÉTODO DE ENCRIPTACIÓN

NO BIYECTIVO DE LOS NÚMEROS

Carlos Torres Miranda

Un modo S es analizar las unidades. pues los dígitos que forman los números son unidades concatenadas.

Se forma la tabla o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de la misma la cifra de las unidades del resultado de calcular x^y. 

En el eje de las abscisas hay formas de números y en el de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U indefinidamente en bloques cada 4 columnas, formando cuaternas.

En resúmen, U es la matriz simplificada de

        0                            1                            2 ...

    y  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...

x
0      - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...

1      1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

2      1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...

3      1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...         

4      1 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...

5      1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...

6      1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...

7      1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...

8      1 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...

9      1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...

O sea, la matriz U de las unidades para todo n e N es:

    y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4

x
0        0       0       0       0

1        1       1       1       1

2        2       4       8       6

3        3       9       7       1

4        4       6       4       6

5        5       5       5       5

6        6       6       6       6  

7        7       9       3       1

8        8       4       2       6

9        9       1       9       1

NOMENCLATURA PARA LAS FORMAS DE LAS CUATERNAS DE U

Elementos de la cuaterna de U pertenecen a la misma forma si son iguales topológicamente.

Se indica a la derecha la unidad inicial de cada forma de las cuaternas.

Las formas de las cuaternas son:

{4n+1} e₁                                        → 2

{4n+2} e₂                                 → 3

{4n+3} e₃                                 → 7

{4n+4} e₄                                 → 8

{4n+1, 4n+2}                                 -

{4n+1, 4n+3} e₅¹                          → 4

{4n+1, 4n+4}                                 -

{4n+2, 4n+3}                                 -

{4n+2, 4n+4} e₅²                          → 9

{4n+3, 4n+4}                                       -

{4n+1, 4n+2, 4n+3}                      -

{4n+1, 4n+2, 4n+4,}                     -

{4n+1, 4n+3, 4n+4}                      -

{4n+2, 4n+3, 4n+4}                      -

{4n+1, 4n+2, 4n+3, 4n+4} e₆   → 0, 1, 5, 6

Las formas a las que no corresponde unidad no existen en U.

RELACIONES DE EQUIVALENCIA EN LAS CUATERNAS DE U

0, 1, 5, 6 - e₆ (elementos iguales)

2, 3, 7, 8 - e₁ , e₂, e₃ , e₄ (elementos distintos)

4, 9 - e₅¹, e₅² (pares iguales)

FUNCIÓN DE ENCRIPTACIÓN

Sean los conjuntos: N de los números naturales,

U * = { u _i } _{i e N} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } (conjunto de las unidades)

y F = { e₁ , e₂ , e_{3 ,} e₄ , e₅¹ _, e ₅², e ₆ } (conjunto de las formas e_i de las cuaternas de U),

con 0 ≤ u _i ≤ 9, 1 ≤ e _i ≤ 6, u _i ∈ U *, e _i ∈ F, i, n ∈ N y u ∈ U.

Se definen las funciónes f : N → U *, g : U * → F y h = f o g : N → F dadas por

f ( n ) = u _i ( cifra de las unidades de n ) y g ( u _i ) = e _i ( formas de las unidades )

Se hace la descomposición decimal n = ∑ u _i * 10 ⁱ y f ( n ) = u ₀

                                                                         _{i ∈ N}

 f es lineal y h no biyectiva, pues g no lo es.

Se definen la familia de las funciones multilineales { f _i } _{i ∈ N}, con f _i : N → U*,

haciendo corresponder cada función f _i a un número su cifra de las unidades siendo

f _i ( n ) = u _i∈ U * y g ( u _i ) = e _i ∈F

Notas:

a) f = { f _i } _{i ∈ N} = { f₁ , f ₂ , . . . , f _i . . . . . } _{i ∈ N}

b) Se hace la descomposición decimal n = ∑ u _i * 10 ⁱ y f ( n ) = u ₀

                                                                               ⁱ ∈ ^N

c) La cifra de las unidades de la unidad es la propia unidad, o sea, f _i ( u _i ) = u _i .

Así, la encriptación h: f o g : N → F es:

h ( n ) = ( f o g ) ( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑ u _i * 10 ⁱ ) = g ( ∑ f ( u _i ) * 10 ⁱ ) ) =

                                                                  _{i ∈ N                   i ∈ N}

g ( ∑( f ₁, f ₂, . . . , f _i , . . . . . ) ( u _i ) * 10 ⁱ ) = g ( { f ₁ ( u ₁ ), f ₂ ( u ₂ ) , . . . , f _i ( u_{i i} ) , . . } ) _i∈N  =

  _{i ∈ N}

{ g ( f ₁ ( u ₁ ) ), g ( f ₂ ( u ₂ ) ), . . . . . , g ( f _i ( u _i ) ) , . . . } _{i ∈ N} =

{ ( f _i o g ) ( u ₁ ), ( f ₂ o g ) ( u ₂ ), . . . . . , ( f _i o g ) ( u _i) , . . . } _{i ∈ N} =

{ ( f _i o g ) ( u _{1 ,} u _{2 ,} . . . . . u _i , . . . ) } _{i ∈ N} = { h ( u _{1 ,} u _{2 ,} . . . . . u _i , . . . ) } _{i ∈ N} =

h ( n ) = { e₁ , e₂ , e_{3 ,} e₄ , e₅¹ _, e ₅², e ₆ }∈ F, con

g ( { u ₁ , u ₂ , . ., u _{i, ,} . . . . . } ) = { e₁ , e₂ , e_{3 ,} e₄ , e₅¹ _, e ₅², e ₆ } ∈ F, pues f = 1_U^* (función identidad )

Está bien definida h.

Así definida, por ejemplo, una encriptación del número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 es:

h { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e_6, e₆ e₁ e₂ e₅¹ e₆ e₃ e₃ e₄ e₅² }

Observación: g no se puede desencriptar fácilmente al no ser biyectiva.

TEOREMA

Si x, y e N con 0 < x, y < 9 y x^y = y^x . Entonces x e y no pueden ser impares.

Demostración:

Si x e y son números naturales impares, con x ^y = y ^x = t, entonces t e N

Formamos el siguiente cuadro

     y  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 x

 0      - 0 0 0 0 0 0 0 0 0

 1      - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

 2      1 2 4 8 6 2 4 8 6 2

 3      1 3 9 7 1 3 9 7 1 3

 4      1 4 6 4 6 4 6 4 6 4

 5      1 5 5 5 5 5 5 5 5 5

 6      1 6 6 6 6 6 6 6 6 6

 7      1 7 9 3 1 7 9 3 1 7

 8      1 8 4 2 6 8 4 2 6 8

 9      1 9 1 9 1 9 1 9 1 9

donde el interior de la matriz contiene las terrminaciones (cifra de las unidades)

de x ^y, con 0 < x, y < 9

Si además x e y son impares, la matriz queda:

    y  1 3 5 7 9

x
1     1 1 1 1 1

3     3 7 3 7 3

5     5 5 5 5 5

7     7 3 7 3 7

9     9 9 9 9 9

Pero el interior de la misma debería ser una matriz simétrica pues cambiando

x por y debe ser x ^y = y ^x, y por tanto terminar en la misna cifra para 0 < x, y < 9.

Pero la matriz ya no es simétrica cuando x e y son impares.

Luego, por el principio de contraposición, también llamado de reducción al

absurdo, no pueden ser impares                                                                 [c.q.d.]

Cinco ejercicios de series finitas (ó parciales)

Carlos Torres Miranda

Facultad de Ciencias

Estudiante de Grado de Matemáticas de la UNED

Cinco series matemáticas finitas

Five finite matematical series

Calcular las siguientes series matemáticas:

1.-

_i=n

∑ i . ( i – 1 )

ⁱ⁼¹

= [ n . ( n + 1 ) . ( 2 . n + 1 ) ] / 6 - [ ( 1 + n ) . n ) / 2

= [ 2 . n³ + 3 . n² + n – 3 . n – 3 . n² ] / 6

= [ 2 . n³ - 2 . n ] / 6

= [ n . ( n + 1 ) . ( n – 1 ) ] /3

=  n . ( n + 1 ) . ( n – 1 )

                   3

    _{i = +1}

     ∏ [ n + i ]

= i = -1              

             3

2.-

 _{i = n}

  ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

i = 1

= 1 . n + 2 . ( n – 1 ) + 3 . ( n – 2 ) +....+ ( n – 2 ) . 3 + ( n – 1 ) . 2 + n . 1

  _{i = n           i = n}

= ∑ ( i . n ) – ∑ [ i . ( i – 1 ) ]

 ^{i = 1            i = 1}

                                    _{i = n}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] . n ² – ∑ { i . ( i – 1 ) ]

                                           ^{i = 2}

                                 ^{i = n – 1}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] . n ² – ∑ [ i . ( i + 1 ) ]

                                   ^{i = 1}

                                                                                      ^{i = n – 1}

= n ² . [ ( n + 1 ) / 2 ] – { [ 1 + ( n – 1 ) ] . (n – 1 ) / 2 } – ∑ i ²

                                                                                         ^{i = 1}

                                                              _{i = n – 1}

= n ² . [ ( n + 1 ) / 2 ] – [ ( n ² – n ) / 2 ] – ∑ i ²

                                                                 ^{i = 1}

                                         _{i = n – 1}

= ( n ³ + n ² – n ² + n ) / 2 – ∑ i ²

                                           ^{i = 1}

= ( n ³ + n ) / 2 – { [ n . ( n + 1 ) . ( 2 . n + 1 )] / 6 – n ² }

= { 3 . n ³ + 3 . n + 6 . n ² – ( n ² + n ) . ( 2 . n + 1 ) } /6

= ( 3 . n ³ + 3 . n + 6 . n ² – 2 . n ³ – 2 . n ² – n ² – n ) / 6

= ( n ³ + 3 . n ² + 2 . n ) / 6

= [ n . ( n ² + 3 . n + 2 ) ] / 6

= [ n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) ] / 6

     _{i = 2}

     ∏ [ n + i ]

= ^{i = 0}              

           6

 = ( n + 2 ) !       

    ( n – 1 ) ! . 3 !

      ( n + 2 ) !                                         

=    ( ( n + 2 ) – ( n – 1 ) ) ! . ( n – 1 ) !
   ( n + 2 )

= ( )

    ( n – 1 )

         ( n + 2 )

= C( n – 1 ) , poniéndolo como las combinaciones sin repetición de ( n + 2 )

                       elementos tomados de ( n – 1 ) en ( n – 1 ).

3.-

 _{i = n}

  ∑ ( n + i ) . ( n - i )

^{i = 0}

  ^{i = n}

= ∑ ( n ² – i ² )

  ^{i = 0}

   ^{i = n      i = n}

= ∑ n ² – ∑ i ²

 ^{i = 0     i = 0}

= ( n + 1 ) . n ² – [ n . ( n + 1 ) . ( 2 . n + 1 ) / 6 – 0 ]

= n ³ + n ² – n . ( 2 . n ² + 3 . n + 1 ) / 6

= ( 6 . n ³ + 6 . n ² – 2 . n ³ – 3 . n ² – n ) / 6

= n . ( 4 . n ² + 3 . n – 1 ) / 6

= 4 / 6 . n . ( n + 1 ) . ( n – 1 / 4 )

= ( 1 / 6 ) . n . ( n + 1 ) . ( 4 . n – 1 )

4.-

 _{i = n}

  ∑ ( n + i ) ²

^{i = 0}

  ^{i = n}

= ∑ ( n ² + 2 . n . i + i ² )

 ^{i = 0}

= n ² . ( n + 1 ) + 2 . n . n . ( n + 1 ) / 2 + n . ( n + 1 ) . ( 2 n + 1 ) / 6

= n . ( n + 1 ) . [ n + n + ( 2 . n + 1 ) / 6 ]

= n . ( n + 1 ) . ( 14 . n + 1 )

                      6

5.-

 _{i = n}

  ∑ ( n + i ) ³

i = 0

  ^{i = n}

= ∑ ( n ³ + 3 . n ² . i + 3 . n . i ² + i ³ )

 ^{i = 0}

 ^{i = n                  i = n           i = n    i = n}

= ∑ n ³ + 3 . n ² . ∑ i + 3 . n .∑ i ² + ∑ i ³

  ^{i = 0                   i = 0            i = 0     i = 0}

= ( n + 1 ) . n ³ + 3 . n ² . n . ( n + 1 ) / 2 + 3 . n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) . ( 2 . n + 1 ) / 6 +[n . ( n + 1 )/2] ²

= n . ( n + 1 ) . [ n ² + 3 . n ² / 2 + ( 2 . n ² + 5 . n + 2 ) / 2 + ( n ² + n ) / 4 ]

= n . ( n + 1 ) . ( 4 . n ² + 6 . n ² + 4 . n ² + 10 . n + 4 + n ² + n ) / 4

= n . ( n + 1 ) . ( 15 . n ² + 11 . n + 4 )

                               4