Escritos de Carlos Torres: 2020

domingo, 20 de diciembre de 2020

¿Qué es e (número 'e')?

Es el límite cuando n tiende a más infinito de la función (n+1/n) elevado a n, o sea,

e = lim (1+1/n)ⁿ

^{n →} ⁺⁰⁰

Por la fórmula de Taylor sabemos que en x₀ = 0 y con f(x)=e^x es

k=nk=n k=⁺⁰⁰

e = lim ∑f '(0).(x-0)^k / k ! = lim ∑ x^k/ k! ≤ ∑ 1/ k!= f(1) pues 0 ≤ x ≤ 1

^n
→ ⁺⁰⁰k=0 ^{n →
+00}k=0 k=0

^k=+00

Se trata de demostrar que lim (1+1/n)ⁿ= ∑ x^k/ k! = e

^{n
→ + 00 k=0}

Sea t_n= (1+1/n)ⁿ

Por el desarrollo en serie de las potencias del binomio es

k=n k=n

t_n= (1+1/n)ⁿ= ∑C_kⁿ.1^{n - k}.1/n^k= ∑{ [ n¡ / (k¡ . (n-k)¡)] / n^k}

k=0 k=0

Después

k=n

lim t_n= lim {(1+1/n)ⁿ= lim ∑{n.(n-1)...[n-(k-1)] / k¡} / n^k} =

^{n
→ +00 n → +00 n → +00}k=0

k=n

lim ∑{(1/ k¡) .{{1.(1-1/n).....[1-(k-1)/n] }} =

^{n
→ +00}k=0

k=+00

∑(1/ k¡) = e

k=0

También, hay que demostrar que

n n n +00

e ≤ lim sup ∑(1/ k¡) ≤ lim inf ∑(1/ k¡) ≤ e --> lim ∑(1/ k¡) = e --> ∑(1/ k¡) = e

0 0 0 0

viernes, 18 de diciembre de 2020

PROPUESTAS

( P / 100 ) * N = 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1

_{i
= n}

= ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

^{i
= 1}

= 2n+4(n-1)+6(n-2)+...n/2(n/2+1)

1 * n ! + 2 * ( n – 1 ) ! + 3 * ( n – 2 ) ! +..... + ( n – 2 ) * 3 ! + ( n – 1 ) * 2 ! + n * 1 !

_{i
= n}

= ∑ i . { [ n – ( i – 1 ) ] ! }

^{i
= 1}

^{i
= n}

= ∑ i ! . { [ n – ( i – 1 ) ] }

^{i
= 1}

^{-------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

_{i = n}_!

∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

^{i
= 1}

^{---------------------------------------------------------------------------------------------------------------}∫xdx = d(∫xdx)/dx → x²/2+c =d(x²/2+c)/dx = x → x²-2x+2c=0 →

x=1+-sqr(1-2c) → recta vertical

∫dx = d(∫dx)/dx → x+c =d(x+c)/dx = 1 → x=1-c → recta vertical

1 * n ² + 2 * ( n – 1 ) ² + 3 * ( n – 2 ) ² +..... + ( n – 2 ) * 3 ² + ( n – 1 ) * 2 ² + n * 1 ²

_{i
= n}

= ∑ { i ² . [ n – ( i – 1 ) ] }

^{i
= 1}

_{i = n}

= ∑ { i . [ n – ( i – 1 ) ] } ²

_{i
= 1}

1 * n ² + 2 * ( n – 1 ) ² + 3 * ( n – 2 ) ² +..... + ( n – 2 ) * 3 ² + ( n – 1 ) * 2 ² + n * 1 ²

_{i
= n}

= ∑ i . [ n – ( i – 1 ) ] ²

_{i
= 1}

_{i = n}

= ∑ i . [ n ² + ( i – 1 ) ² – 2 . n . ( i – 1 ) ]

_{i
= 1}

_{i = n}

= ∑ i . ( n ² + i ² – 2 . i + 1 – 2 . n . i + 2 . n )

_{i
= 1}

_{i
= n}

= ∑ ( i . n ² + i ³ – 2 . i ² + i – 2 . n . i ² + 2 . n . i )

_{i
= 1}

_{i
= n}

= ∑[i³+i²(-2-2n)+i.(1+2n)]

_{i
= 1}

_{---------------------------------------------------------------------------------------------------------------}

_{i
= n}

= ∑ { i ² . [ n – ( i – 1 ) ] }

^{i
= 1}

_{i = n}

= ∑ [ i ² . n – i ² . ( i – 1 ) ] ]

^{i
= 1}

_{i
= n}

= ∑ ( i ² . n – i ³+ i ² )

^{i
= 1}

_{i
= n}

= ∑ ( i ² . ( n + 1 ) – i ³)

^{i = 1}

lunes, 7 de diciembre de 2020

FÓRMULA

N i=N N i N- i

( 1 + N ) = ∑ ( ) _* 1 _*N →

i=0 i

N i = N N N- i

( N + 1 ) = ∑ ( ) N

i = 0 i

También:

N i=N N i

( N + 1 ) = ∑ () N

i = 0 i

Casos: N=0 → 1⁰= C₀⁰.0⁰= 1.¿? p -

N=1 → 2¹ = C₀¹.1⁰ + C₁¹.1¹= 1.¿? + 1.1 = -

N=2 → 3² = C₀².2⁰+ C₁².2¹ + C₂².2²= 1.1 + 2.2 + 1.4 = 9

N=3 → 4³ = C₀³.3⁰+ C₁³.3¹ + C₂³.3² + C₃³.3³ = 1.1 + 3.3 + 3.9 + 1.27 = 64

N=4 → 5⁴ = C₀⁴.4⁰+ C₁⁴.4¹ + C₂⁴.4² + C₃⁴.4³ + C₄⁴ .4⁴ = 1.1 + 4.4 + 6.16 +64+ 1.256 = 1+16+96+256+256 = 625

Luego

Ni = N N i

( N + 1 ) = ∑ () N

i = 0 i

Si N=1 →

Ni = N N

( 1 + 1 ) = ∑ () →

i = 0 i

i = N N

2 = ∑ ()

i = 0 i

lunes, 30 de noviembre de 2020

LA CAMPANA DE GAUSS

Sea cual sea la creencia de cada uno, para mí los Poderes Creadores están

en la Creatividad humana.

Muchos de los movimientos, creaciones ú obras, consecuencia de las

Creencias de cada uno, se podrían regir, si se lee Estadística, por la distribución

Normal, con su correspondiente fórmula y sus medias y varianzas probabilísticas,

estocásticas, estadísticas y muestrales, y cuya representación gráfica es la

denominada Campana de Gauss, en honor a este célebre matemático.

Para los Creyentes, dijo Einstein que Dios jugaba a los dados; actualmente,

que Dios es matemático es el titular de una enciclopedia.

Pero para todos, siempre queda márgen para actuar a los creadores o

entidades creadoras, márgen que obtienen de la Campana de Gauss (o registran en

la Campana de Gauss) para la Creencia correspondiente, asintótica en sus

extremos o laterales marginales, haciéndolos infinitos. Es un ejemplo.

Por CARLOS TORRES MIRANDA. DNI: 18009141A

martes, 17 de noviembre de 2020

CÁLCULO DE “n” EN FUNCIÓN DE “N”

( P / 100 ) * N = 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1

_{i
= n}

= ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

^{i
= 1}

_{i
= n i = n}

= ∑ ( i . n ) – ∑ [ i * ( i – 1 ) ]

^{i
= 1}^{i = 1}

_{i
= n}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] * n ² – ∑ { i * ( i – 1 ) ]

^{i
= 2}

^{i
= n – 1}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] * n ² – ∑ [ i * ( i + 1 ) ]

^{i
= 1}

^{i = n – 1}

= n ² * [ ( n + 1 ) / 2 ] – { [ 1 + ( n – 1 ) ] * (n – 1 ) / 2 } – ∑ i ²

^{i = 1}

_{i
= n – 1}

= n ² * [ ( n + 1 ) / 2 ] – [ ( n ²– n ) / 2 ] – ∑ i ²

^{i
= 1}

_{i
= n – 1}

= ( n ³+ n ² – n ²+ n ) / 2 – ∑ i ²

^{i = 1}

= ( n ³+ n ) / 2 – { [ n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 )] / 6 – n ² }

= { 3 * n ³+ 3 * n + 6 * n ² – ( n ² + n ) * ( 2 * n + 1 ) } /6

= ( 3 * n ³+ 3 * n + 6 * n ² – 2 * n ³ – 2 * n ²–n ² – n ) / 6

= ( n ³ + 3 * n ² + 2 * n ) / 6

= [ n * ( n ² + 3 * n + 2 ) ] / 6

= [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6

_{i
= 2}_{i = n}

= ∏ [ n + i ] = ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] = ( P / 100 ) * N

^{i = 0}ⁱ^{= 1}

= 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1

= (1, 2., 3 … (n-1), n) * (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) ^T= M * N ^T matricialmente,

donde M = (1, 2., 3 … (n-1), n) Є М _{1 * n}y N = (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) Є М n_{* 1}

CONVERSIÓN DE UNA SERIE CUADRÁTICA EN UNA SERIE ARITMÉTICA A(1,1) Y VICEVERSA

_{OBSERVACIÓN:}

_{i
= n i = n}

∑ i – ∑ i ²

^{i = 1} ^{i = 1}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] * n – n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 )] / 6

_{i = n}

= ∑ i * [ 1– ( 2 * n + 1 )] / 3 ]

^{i
= 1}

_{i = n}

= ∑ i * [ 2 ( 1 – n )] / 3 ]

^{i = 1}

_{i
= n} i = n_{i = n}

= (2 / 3 ) * ( 1 – n ) * ∑ i =∑ i – ∑ i ²

^{i
= 1}^{i = 1}^{i
= 1}

De aquí deducimos

_i
=n_{i = n i = n}

∑ i ² = ∑ i – (2 / 3 ) * ( 1 – n ) * ∑ i

_{i
= 1}_{i = 1}i = 1

_{i
= n}

= ∑ i * [ 1 – (2 / 3 ) * ( 1 – n ) ]

_{i
= 1}

_{i
= n}

= ∑ i * ( 1 + 2 * n ) / 3 →

_{i
= 1}

_{i = n i = n}

haciendo A = ∑ i y C = ∑ i ²con series aritmética A=A(1, 1) y cuadrática respectivamente es

^{i
= 1 i = 1}

_{i
= n}_{i = n i = n}

C = ( 1 / 3 ) * ( 1 + 2 * n ) * A (serie aritmética A(1,1) y C = ∑ i ² = ∑ [ i – (2 / 3 ) * ( 1 – n ) * ∑ i ]

_{i
= 1}_{i = 1}_{i = 1}

DEMOSTRACIÓN DE A – C ≠ A / C

Lo hago por reducción al absurdo.

De C = ( 1 / 3 ) * ( 1 + 2 * n ) * A tenemos

a) A – C = A * [ 1 – ( 1 / 3 ) * ( 1 + 2 * n ) ] = [ 2 * ( 1 – n ) / 3 ] * A

= [ 2 * ( 1 – n ) / 3 ] * [ n * ( n + 1 ) / 2] = n * ( 1 – n ² ) / 3 →

n * ( – n ² + 1 )

A – C =_______________

b) A / C = [ 1 / 3 * ( 1 + 2 * n) ] ^{- 1}= 3 / ( 2 * n+ 1 ) = ________ →

2 * n + 1

A / C = 3 / ( 2 * n+ 1 )

Entonces si A – C = A / C →

* A * [ 2 * ( 1 – n ) / 3 ] = 3/ ( 2 * n + 1 ) → A = [ 3 / ( 2 * n + 1 ) ] / ( 1 / 3 ) * [ 2 * ( 1 – n ) ]

= 9 / [ ( 2 * n + 1 ) * [ 2 * ( 1 – n ) ] → A = 9 / [ ( 2 * n + 1 ) * ( – 2 * n + 2 ) ] → (*₁ )

* A = C * ( A – C ) → A = C * A – C ²→ C ²– C * A + A = 0 → C = [ A ± √ ( A ²– 4 * A ) ] / 2

= [ A ± √ A * √ ( A – 4 ) ] / 2 → C = [ A ± √ A * √ ( A – 4 ) ] / 2 → (*₂)

De (*₁ ) →

_{I
= n} 9 9

A = ∑ i = 9 / [ ( 2 * n + 1) ( - 2 * n + 2 ) ] = ___________________= ____________________

^{i
= 1}2 * ( - 2 * n ² + n + 1 ) - 4 * ( n + ½ ) * ( n - 1 )

^{I = n} 9

→ ∑ i = 9 / [ - 4 * ( n + ½ ) * ( n – 1 ) ] = __________________ no es aritmética

^{i = 1}- 4 * ( n + ½ ) * ( n - 1 )

De (*₂ )

_{i = n}

C = ∑ i ²= [ A ± √A *√( A – 4 ) ] / 2 → 3 casos:

^{i
= 1}_{i = n i = n i = n}

a₁) C = [ A + √A *√( A – 4 ) ] / 2 = [ ∑ i + √ ∑ i *√( ∑ i – 4 ) ] / 2 no es cuadratica

i = 1 i = 1 i = 1

_{i
= n i = n i = n}

a₂) C = [ A – √A *√(A – 4 ) ] / 2 = [ ∑ i + √ ∑ i *√( ∑ i – 4 ) ] / 2 no es cuadratica

_{i = 1 i = 1 i = 1}

b) C = 1 / 3 * ( 1 + 2 * n ) * A = [ 1 / 3 * ( 1 + 2 * n ) ] * { 9 / [ – 4 * ( n +1/2 ) * (n – 1) ] }

= [ ( 1 + 2 * n ) * 9 ] / { 3 * [ ( – 4) * ( n +1/2 ) * (n – 1) ] }

– 3 * ( 2 * n + 1 )

= ( – 3/ 4 ) * ( 2 * n + 1 ) / ( n +1/2 ) * (n – 1) = ___________________

4 * ( n +1/2 ) * (n – 1)

_{i
= n}– 3 * ( 2 * n + 1 )

→ ∑ i ²= = [– 3 * ( 2 * n + 1 )]_/[4 * ( n +1/2 ) * (n – 1) ] = ___________________

^{i
= 1}4 * ( n +1/2 ) * (n – 1)

no es cuadratica

EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

_{i = n}

∑ { i . [ n - ( i – 1 ) ] }

^{i
= 1}_{i = n}i . [ n - ( i – 1 ) ]

exp = ∏ exp

^{i
= 1}

n + i

_{i = n} 6 n - ( n + 1 ) . ( n + 2 )

∏

^{i
= 1} 6 C _{n
+ 2,, n - 1}

= exp = exp = exp

^{i
= n} _{i = n}

log ∏ { i . [ n - ( i – 1 ) ] } = ∑ log { i . [ n - ( i – 1 ) ] }

_{i = 1} ^{i
= 1}