BREVES

. Los números son unidades concatenadas

. Leer: La ética y el matemático

SOBRE LA MATERIA OSCURA Y LAS COORDENADAS DE LAS UNIDADES

Leer "Divagando e indagando con las unidades matemáticas" de Carlos Torres Miranda. Editorial Pirineo


El conjunto   G = {n ∈ N⏐ 0 ≤ n ≤ 9} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9} se puede clasificar

dotándolo de la relación ℜ:  G ---> G definida por:
                                                                                                                                 y1
ℜ(n)={m∈G⏐la extensión  del ciclo observado al calcular cada dígito  de   m           
                                                                                                             y2
es igual que la del observado al calcular ese mismo dígito en   n    , 

para cada n∈G,  ∀y1∈N  y  ∀y2∈N}, y que determina la siguiente partición de G:   
      
                                   ℘= {{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}                

  

       Se tiene pues la partición de G:   ℘ = {{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
                                                                   = {{{5}, {6}, {7}},  {{0, 1}, {4, 9}},  {2, 3, 8}}
                                                                   = {Ai} con 1 ≤ i ≤ 6     

y por tanto: A1 = {5}
                     A2 = {6}
                     A3 = {7}  
                   A4 = {0, 1}
                     A5 = {4, 9}
                     A6 = {2, 3, 8}

Nº de unidades de los subconjuntos A_i → 1+1+1+2+2+3 = 10 →

→ materia oscura

Combinaciones en los dígitos (unidades) del número a elegir = 1.1.1.2.2.3 = 12 →

→ materia total

Diferencia = 12 – 10 = 2 →

→ materia observable

Porcentajes en el universo:

% de materia observable: 2 / 12 = 1 / 6

% de materia oscura : 10 / 12 = 0 ' 83

EJEMPLO:

a) Coordenadas de 1234567890

1234567890 → {(A_i, M_k)}_1≤i≤6 =

^{k≥0, keN}

= {(A₂, M₉), (A₁, M₈), (A₁, M₇), (A₃, M₆), (5, CM),

(6, DM), (7, UM), (A₁, C), (A₃, D), (A₂, U)} =

= 1234567890, 1234567891, 1234567840, 1234567841,

1234567390, 1234567391, 1234567340, 1234567341,

1234567290, 1234567291, 1234567240, 1234567241,

cambiar 4 por 9)

1239567890, 1239567891, 1239567840, 1239567841,

1239567390, 1239567391, 1239567340, 1239567341,

1239567290, 1239567291, 1239567240, 1239567241,

3 por 8)

1284567890, 1284567891, 1284567840, 1284567841,

1284567390, 1284567391, 1284567340, 1284567341,

1284567290, 1284567291, 1284567240, 1284567241,

1289567890, 1289567891, 1289567840, 1289567841,

1289567390, 1289567391, 1289567340, 1289567341,

1289567290, 1289567291, 1289567240, 1289567241,

3 por 2)

1224567890, 1224567891, 1224567840, 1224567841,

1224567390, 1224567391, 1224567340, 1224567341,

1224567290, 1224567291, 1224567240, 1224567241,

1229567890, 1229567891, 1229567840, 1229567841,

1229567390, 1229567391, 1229567340, 1229567341,

1229567290, 1229567291, 1229567240, 1229567241,

2 por 8 )

1834567890, 1834567891, 1834567840, 1834567841,

1834567390, 1834567391, 1834567340, 1834567341,

1834567290, 1834567291, 1834567240, 1834567241,

1839567890, 1839567891, 1839567840, 1839567841,

1839567390, 1839567391, 1839567340, 1839567341,

1839567290, 1839567291, 1839567240, 1839567241,

1884567890, 1884567891, 1884567840, 1884567841,

1884567390, 1884567391, 1884567340, 1884567341,

1884567290, 1884567291, 1884567240, 1884567241,

1889567890, 1889567891, 1889567840, 1889567841,

1889567390, 1889567391, 1889567340, 1889567341,

1889567290, 1889567291, 1889567240, 1889567241,

1824567890, 1824567891, 1824567840, 1824567841,

1824567390, 1824567391, 1824567340, 1824567341,

1824567290, 1824567291, 1824567240, 1824567241,

1829567890, 1829567891, 1829567840, 1829567841,

1829567390, 1829567391, 1829567340, 1829567341,

1829567290, 1829567291, 1829567240, 1829567241,

2 por 3)

1334567890, 1334567891, 1834567840, 1834567841,

1334567390, 1334567391, 1834567340, 1834567341,

1334567290, 1334567291, 1834567240, 1834567241,

1339567890, 1339567891, 1839567840, 1839567841,

1339567390, 1339567391, 1839567340, 1839567341,

1339567290, 1339567291, 1839567240, 1839567241,

1384567890, 1384567891, 1884567840, 1884567841,

1384567390, 1384567391, 1884567340, 1884567341,

1384567290, 1384567291, 1884567240, 1884567241,

1389567890, 1389567891, 1889567840, 1889567841,

1389567390, 1389567391, 1889567340, 1889567341,

1389567290, 1389567291, 1889567240, 1889567241,

1324567890, 1324567891, 1824567840, 1824567841,

1324567390, 1324567391, 1824567340, 1824567341,

1324567290, 1324567291, 1824567240, 1824567241,

1329567890, 1329567891, 1829567840, 1829567841,

1329567390, 1329567391, 1829567340, 1829567341,

1329567290, 1329567291, 1829567240, 1829567241,

cambiar 1 inicial por 0 en los números anteriores)

0234567890, 0234567891, 0234567840, 0234567841,

0234567390, 0234567391, 0234567340, 0234567341,

0234567290, 0234567291, 0234567240, 0234567241,

0239567890, 0239567891, 0239567840, 0239567841,

0239567390, 0239567391, 0239567340, 0239567341,

0239567290, 0239567291, 0239567240, 0239567241,

0284567890, 0284567891, 0284567840, 0284567841,

0284567390, 0284567391, 0284567340, 0284567341,

0284567290, 0284567291, 0284567240, 0284567241,

0289567890, 0289567891, 0289567840, 0289567841,

0289567390, 0289567391, 0289567340, 0289567341,

0289567290, 0289567291, 0289567240, 0289567241,

0224567890, 0224567891, 0224567840, 0224567841,

0224567390, 0224567391, 0224567340, 0224567341,

0224567290, 0224567291, 0224567240, 0224567241,

0229567890, 0229567891, 0229567840, 0229567841,

0229567390, 0229567391, 0229567340, 0229567341,

0229567290, 0229567291, 0229567240, 0229567241,

0834567890, 0834567891, 0834567840, 0834567841,

0834567390, 0834567391, 0834567340, 0834567341,

0834567290, 0834567291, 0834567240, 0834567241,

0839567890, 0839567891, 0839567840, 0839567841,

0839567390, 0839567391, 0839567340, 0839567341,

0839567290, 0839567291, 0839567240, 0839567241,

0884567890, 0884567891, 0884567840, 0884567841,

0884567390, 0884567391, 0884567340, 0884567341,

0884567290, 0884567291, 0884567240, 0884567241,

0889567890, 0889567891, 0889567840, 0889567841,

0889567390, 0889567391, 0889567340, 0889567341,

0889567290, 0889567291, 0889567240, 0889567241,

0824567890, 0824567891, 0824567840, 0824567841,

0824567390, 0824567391, 0824567340, 0824567341,

0824567290, 0824567291, 0824567240, 0824567241,

0829567890, 0829567891, 0829567840, 0829567841,

0829567390, 0829567391, 0829567340, 0829567341,

0829567290, 0829567291, 0829567240, 0829567241,

0334567890, 0334567891, 0834567840, 0834567841,

0334567390, 0334567391, 0834567340, 0834567341,

0334567290, 0334567291, 0834567240, 0834567241,

0339567890, 0339567891, 0839567840, 0839567841,

0339567390, 0339567391, 0839567340, 0839567341,

0339567290, 0339567291, 0839567240, 0839567241,

0384567890, 0384567891, 0884567840, 0884567841,

0384567390, 0384567391, 0884567340, 0884567341,

0384567290, 0384567291, 0884567240, 0884567241,

0389567890, 0389567891, 0889567840, 0889567841,

0389567390, 0389567391, 0889567340, 0889567341,

0389567290, 0389567291, 0889567240, 0889567241,

0324567890, 0324567891, 0824567840, 0824567841,

0324567390, 0324567391, 0824567340, 0824567341,

0324567290, 0324567291, 0824567240, 0824567241,

0329567890, 0329567891, 0829567840, 0829567841,

0329567390, 0329567391, 0829567340, 0829567341,

0329567290, 0329567291, 0829567240, 0829567241

Total:

2.3.3.2.1.1.1.3.2.2=432 números coordenan el nº 1234567890

b) Coordenadas de 567

567 → 567 (1 número)

c) Coordenadas de 1, 0, 10 y 01

1 → 0, 1 (2 números)

0 → 0, 1

10 → (0, 1)(0, 1)

01 → (0, 1)(0, 1)

d) Coordenadas de 3

3 → 2, 3, 8 (3 números)

e) Coordenadas de 5

5 → 5

Nota: Se supone en este caso el sistema de numeración decimal.

CARLOS TORRES MIRANDA

Licenciado en matemáticas

Real Sociedad Matemática española

Fórmula del planteamientos bélico y académico

de un modelo matemático de juego de barcos

Carlos Torres Miranda

Planteamiento bélico

En un escenario bélico cuadriculado, p.e., formado por N casillas, ocupando un

porcentaje del mismo P hay una flota de barcos en todas sus tipos ó categorías (portaviones,

acorazados, de apoyo, etc...), simbolizando el orden creciente de excelencia de su categoría por

los elementos del conjunto finito {1, 2., 3 … (n-1), n}_nЄN en ese orden, y que representan sus

dimensiones, con n ≤ N.

Es decir, el barco de la categoría A_i , con 1 ≤ i ≤ n está representado en el tablero por

el número de casillas (ó dimensión) que ocupa, llamándolo ”a_i” , con 1 ≤ a_i ≤ n .

Los barcos A₁, A₂, … A_n, ocupan, pues, 1, 2, 3 ..., n casillas del total de N del tablero,

con n ≤ N, en la proporción P = ( n / N ) * 100.

Un modelo de la distribución de las categorías o las dimensiones de los barcos es, p. e.:

1 barco de dimensión n (ó de categoría n)

2 barcos de dimensión (n-1) (ó de categoría (n-1))

3 barcos de dimensión (n-2) (ó de categoría (n-2))

…............................

(n-2) barcos de dimensión 3 (ó de categoría 3

(n-1) barcos de dimensión 2 (ó de categoría 2

n barcos de dimensión 1 (ó de categoría 1)

Simplificando, habrá “ i ” barcos de “ n - ( i - 1 ) “ casillas, y la flota constará de

{ n * ( n + 1 ) } / 2 barcos que ocuparán { n * ( n + 1 ) } / 2 casillas, según ese modelo.

Formular una ecuación que calcule la dimensión de los barcos (ó la categoría), de los

que ocupan un porcentaje “P” de las N casillas del escenario bélico.

Indicar su análisis y resolverla.

Solución

Cálculo de n en función de N:

( P / 100 ) * N = 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1

 _{i = n}

= ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]

 ^{i = 1}

 _{i = n           i = n}

= ∑ ( i . n ) – ∑ [ i * ( i – 1 ) ]

 ^{i = 1            i = 1}

                                             _{i = n}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] * n ² – ∑ { i * ( i – 1 ) ]

                                            ^{i = 2}

                                          ^{i = n – 1}

= [ ( 1 + n ) / 2 ] * n ² – ∑ [ i * ( i + 1 ) ]

                                            ^{i = 1}

                                                                                                          ^{i = n – 1}

= n ² * [ ( n + 1 ) / 2 ] – { [ 1 + ( n – 1 ) ] * (n – 1 ) / 2 } – ∑ i ²

                                                                                                              ^{i = 1}

                                                                            _{i = n – 1}

= n ² * [ ( n + 1 ) / 2 ] – [ ( n ² – n ) / 2 ] – ∑ i ²

                                                                               ^{i = 1} 

                                                 _{i = n – 1}

= ( n ³ + n ² – n ² + n ) / 2 – ∑ i ²

                                                    ^{i = 1}

= ( n ³ + n ) / 2 – { [ n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 )] / 6 – n ² }

= { 3 * n ³ + 3 * n + 6 * n ² – ( n ² + n ) * ( 2 * n + 1 ) } /6

= ( 3 * n ³ + 3 * n + 6 * n ² – 2 * n ³ – 2 * n ² – n ² – n ) / 6

= ( n ³ + 3 * n ² + 2 * n ) / 6

= [ n * ( n ² + 3 * n + 2 ) ] / 6

= [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6

  _{i = 2}

= ∏ [ n + i ]
 i = 0

  _{i = n} 

= ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] = ( P / 100 ) * N / 6

 ^{i = 1}                                               

= 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1

= (1, 2., 3 … (n-1), n) * (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) ^T = M * N ^T matricialmente,

donde M = (1, 2., 3 … (n-1), n) Є М _{1 * n} y N = (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) Є М n _{* 1}

Luego,

( P / 100 ) * N = ( n ³ + 3 * n ² + 2 * n ) / 6

→ N = [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) * 100 ] / (6 * P )

→ P = [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] * 100 / ( 6 * N )

→ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) = 6 * N * ( P / 100 )

Se trata de resolver la ecuación:

n ³ + 3 * n ² + 2 * n – 6 * P * N / 100 = 0 –> tiene 1 solución natural, por definición.

La calculo por tanteo:

si P = 100 y

n = 1 → N = 1

n = 2 → N = 4

n = 3 → N = 10

n = 4 → N = 20

n = 5 → N = 35

n = 6 → N = 56

n = 7 → N = 84

n = 8 → N = 120

n = 9 → N = 165

n = 10→ N = 220

n = 11→ N = 286

n = 12→ N = 364

…..............

si P = 100 y

N = 1 → n = 1

N = 2 → n ɇ N

N = 3 → n ɇ N

N = 4 → n = 2

N = 5 → n ɇ N

N = 6 → n ɇ N

N = 7 → n ɇ N

N = 8 → n ɇ N

N = 9 → n ɇ N

N = 10 → n = 3

…..............

N = 10000 → n = 100

…..............

N = 40000 → n = 200

…..............

N = 100000 → n = 300

…...............

Se observa también que aparecen las sucesiónes, en R :

{1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }

Definimos la sucesión f: N→N, dada por: f( n ) = 1 / 6 ( n ³ + 3 * n ² + 2 * n )

→ Sucesión “N” de Torres: { 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }

Aquí, n tende a infinito si y solo si N tiende a infinito, pero N no es infinito, aunque

sí es todo lo grande que se quiera.

Planteamiento académico

Antes ya usábamos P=100, pero era 1 ≤ P ≤ 100.

Ahora, las fórmulas anteriores son válidas aquí pero con P=100, pues todas las preguntas puntuan.

La distribución de las preguntas del exámen será, p.e.:

1 pregunta de puntuación (ó dificultad ó valor) n puntos

2 cuestióes de puntuación (ó dificultad) (n – 1) puntos

3 cuestióes de puntuación (ó dificultad) (n – 2) puntos

….........................................................................

(n – 1) cuestióes de puntuación (ó dificultad) 2 puntos

n cuestióes de puntuación (ó dificultad) 1 punto

Entre las [ n * (n + 1) } / 2 ] preguntas se repartirán [ n * (n + 1) } / 2 ] puntos, según la

distribución anterior.

.

El baremo más simple de aprobado es alcanzar 5 puntos sin más condiciones.

A modo indicativo, el tipo de cuestiones que se solucionan es:

“Si con el modelo anterior todas las preguntas se puntuan de 1 a 10 y en la prueba se reparten

1320 puntos:

a) ¿Cuántas valdrán 8 puntos?

b) ¿Cuántos puntos se necesitan parta obtener un 8 de notable?

c) ¿Qué probabilidad hay de que pongan cierta cuestión queriendo obtener un número

determinaado de puntos?”

Solución:

N = 1320 puntos → n = 10 → 1 pregunta de 10 puntos y/ó 10 preguntas de 1 punto.

→ 55 preguntas en total.

Fórmula principal, con P = 100 para tests:

_{i = 2              i = n} 

  ∏ [ n + i ] =  ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] = N

_{i = 0}              ^{i = 1}               6