Fórmula
del planteamientos bélico y académico
de
un modelo matemático de juego de barcos
Carlos
Torres Miranda
Planteamiento
bélico
En
un escenario bélico cuadriculado, p.e., formado por N casillas,
ocupando un
porcentaje
del mismo P hay una flota de barcos en todas sus tipos ó categorías
(portaviones,
acorazados,
de apoyo, etc...), simbolizando el orden creciente de excelencia de
su categoría por
los
elementos del conjunto finito {1, 2., 3 … (n-1), n}nЄN
en ese orden, y que representan sus
dimensiones,
con n ≤ N.
Es
decir, el barco de la categoría Ai
, con 1 ≤
i ≤
n
está representado en el
tablero por
el número
de casillas (ó dimensión) que ocupa, llamándolo ”ai”
, con 1 ≤ ai ≤ n .
Los
barcos A1,
A2,
… An,
ocupan, pues, 1, 2, 3 ..., n casillas del total de N del tablero,
con n ≤
N, en la proporción P = ( n / N ) * 100.
Un modelo
de la distribución de las categorías o las dimensiones de los
barcos es, p. e.:
1 barco de
dimensión n (ó de categoría n)
2 barcos
de dimensión (n-1) (ó de categoría (n-1))
3 barcos
de dimensión (n-2) (ó de categoría (n-2))
…............................
(n-2)
barcos de dimensión 3 (ó de categoría 3
(n-1)
barcos de dimensión 2 (ó de categoría 2
n barcos
de dimensión 1 (ó de categoría 1)
Simplificando,
habrá “ i ” barcos de “ n - ( i - 1 ) “ casillas, y la
flota constará de
{ n * ( n +
1 ) } / 2 barcos que ocuparán { n * ( n + 1 ) } / 2 casillas, según
ese modelo.
Formular
una ecuación que calcule la dimensión de los barcos (ó la
categoría), de los
que ocupan
un porcentaje “P” de las N casillas del escenario bélico.
Indicar su
análisis y resolverla.
Solución
Cálculo de
n en función de N:
( P / 100 )
* N = 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n –
2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1
i
= n
=
∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]
i
= 1
i
= n i = n
=
∑ ( i . n ) – ∑ [ i * ( i – 1 ) ]
i
= 1 i = 1
i
= n
=
[ ( 1 + n ) / 2 ] * n 2 – ∑ { i * ( i – 1 ) ]
i
= 2
i
= n – 1
=
[ ( 1 + n ) / 2 ] * n 2 – ∑ [ i * ( i + 1 ) ]
i
= 1
i = n – 1
=
n 2 * [ ( n + 1 ) / 2 ] – { [ 1 + ( n – 1 ) ] * (n –
1 ) / 2 } – ∑ i 2
i = 1
i
= n – 1
=
n 2 * [ ( n + 1 ) / 2 ] – [ ( n 2 – n ) / 2
] – ∑ i 2
i
= 1
i
= n – 1
=
( n 3 + n 2 – n 2 + n ) / 2 –
∑ i 2
i = 1
=
( n 3 + n ) / 2 – { [ n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 )] /
6 – n 2 }
=
{ 3 * n 3 + 3 * n + 6 * n 2 – ( n
2 + n ) * ( 2 * n + 1 ) } /6
=
( 3 * n 3 + 3 * n + 6 * n 2 – 2 * n 3
– 2 * n 2 – n 2 – n ) / 6
=
( n 3 + 3 * n 2 + 2 * n ) / 6
=
[ n * ( n 2 + 3 * n + 2 ) ] / 6
=
[ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6
i
= 2
= ∏ [
n + i ]
i = 0
i = 0
i
= n
=
∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] = ( P / 100 ) * N / 6
i = 1
=
1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) *
3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1
=
(1, 2., 3 … (n-1), n) * (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1)
T = M * N T
matricialmente,
donde
M = (1, 2., 3 … (n-1), n) Є
М 1 * n y
N = (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) Є
М n * 1
Luego,
(
P / 100 ) * N = ( n 3 + 3 * n 2 + 2 * n ) /
6
→ N
= [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) * 100 ] / (6 * P )
→ P
= [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] * 100 / ( 6 * N )
→ n
* ( n + 1 ) * ( n + 2 ) = 6 * N * ( P / 100 )
Se trata
de resolver la ecuación:
n 3
+ 3 * n 2 + 2 * n – 6 * P * N / 100 = 0 –> tiene
1 solución natural, por definición.
La calculo
por tanteo:
si P = 100
y
n = 1 →
N = 1
n = 2 →
N = 4
n = 3 →
N = 10
n = 4 →
N = 20
n = 5 →
N = 35
n = 6 →
N = 56
n = 7 →
N = 84
n = 8 →
N = 120
n = 9 →
N = 165
n = 10→ N
= 220
n = 11→ N
= 286
n = 12→ N
= 364
…..............
si
P = 100 y
N
= 1 → n = 1
N
= 2 → n
ɇ
N
N
= 3 → n ɇ N
N
= 4 → n = 2
N
= 5 → n ɇ N
N
= 6 → n ɇ
N
N
= 7 → n ɇ N
N
= 8 → n ɇ N
N
= 9 → n ɇ N
N
= 10 → n = 3
…..............
N
= 10000 → n = 100
…..............
N
= 40000 → n = 200
…..............
N
= 100000 → n = 300
…...............
Se observa
también que aparecen las sucesiónes, en R :
{1,
4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }
Definimos
la sucesión f: N→N, dada por: f( n ) = 1 / 6 ( n 3
+ 3 * n 2
+ 2 * n )
→ Sucesión
“N” de Torres: { 1, 4, 10, 20,
35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }
Aquí, n
tende a infinito si y solo si N tiende a infinito, pero N no es
infinito, aunque
sí es todo
lo grande que se quiera.
Planteamiento
académico
Antes
ya usábamos P=100, pero era 1
≤ P ≤ 100.
Ahora, las
fórmulas anteriores son válidas aquí pero con P=100, pues todas
las preguntas puntuan.
La
distribución de las preguntas del exámen será, p.e.:
1 pregunta
de puntuación (ó dificultad ó valor) n puntos
2 cuestióes
de puntuación (ó dificultad) (n – 1) puntos
3 cuestióes
de puntuación (ó dificultad) (n – 2) puntos
….........................................................................
(n – 1)
cuestióes de puntuación (ó dificultad) 2 puntos
n cuestióes
de puntuación (ó dificultad) 1 punto
Entre las
[ n * (n + 1) } / 2 ] preguntas se repartirán [ n * (n + 1) } / 2 ]
puntos, según la
distribución
anterior.
.
El baremo
más simple de aprobado es alcanzar 5 puntos sin más condiciones.
A modo
indicativo, el tipo de cuestiones que se solucionan es:
“Si con
el modelo anterior todas las preguntas se puntuan de 1 a 10 y en la
prueba se reparten
1320
puntos:
a)
¿Cuántas valdrán 8 puntos?
b)
¿Cuántos puntos se necesitan parta obtener un 8 de notable?
c)
¿Qué probabilidad hay de que pongan cierta cuestión queriendo
obtener un número
determinaado
de puntos?”
Solución:
N
= 1320 puntos → n = 10 → 1 pregunta de 10 puntos y/ó 10
preguntas de 1 punto.
→ 55
preguntas en total.
Fórmula
principal, con P = 100 para tests:
i
= 2 i = n
∏ [
n + i ] = ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] = N
i = 0 i = 1 6
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