MÉTODO DE ENCRIPTACIÓN
DE LOS NÚMEROS
Carlos Torres Miranda
Se forma la tabla o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de la misma la cifra de las unidades del resultado de calcular xy. En el eje de las abscisas hay formas de números y en el de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U indefinidamente en bloques cada 4 columnas, formando cuaternas.
En resúmen, U es la matriz simplificada de
Y 0 1 2 ...
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz U de las unidades para todo n e N es:
x y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 4 8 6
3 3 9 7 1
4 4 6 4 6
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 9 3 1
8 8 4 2 6
9 9 1 9 1
NOMENCLATURA PARA LAS FORMAS DE LAS CUATERNAS DE U
Se indica a la derecha la unidad inicial de cada forma de las cuaternas.
Las formas de las cuaternas son:
{4n+1} e1 → e1 = 2
{4n+2} e2 → e2 = 3
{4n+3} e3 → e3 = 7
{4n+4} e4 → e4 = 8
{4n+1, 4n+2} -
{4n+1, 4n+3} e51 → e51 = 4
{4n+1, 4n+4} -
{4n+2, 4n+3} -
{4n+2, 4n+4} e52 → e52 = 9
{4n+3, 4n+4} -
{4n+1, 4n+2, 4n+3} -
{4n+1, 4n+2, 4n+4} -
{4n+1, 4n+3, 4n+4} -
{4n+2, 4n+3, 4n+4} -
{4n+1, 4n+2, 4n+3, 4n+4} e6 → 0 = e61
→ 1 = e62
→ 5 = e63
→ 6 = e64
Las formas a las que no orresponde unidad no existen en U.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA EN LAS CUATERNAS DE U
0, 1, 5, 6 - e61, e62, e63, e64 (elementos distintos obtenidos de igual forma)
CORRESPONDENCIA
2, 3, 7, 8 - e1, e2, e3, e4 (elementos distintos obtenidos de distinta forma)
APLICACIÓN BIYECTIVA
4, 9 - e51, e52 (pares similares obtenidos de distinta forma)
FUNCIÓN DE ENCRIPTACIÓN
Sean los conjuntos: N de los números naturales,
U = { u i } i e N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } de las unidades, y
F = { e6 , e6 , e1 , e2 , e51, e6 , e6 , e3 , e4 , e52} de las formas de las cuaternas de U,
con 0 ≤ u i ≤ 9, 1 ≤ e i ≤ 6, u i ∈ U, e i ∈ F, e i, n ∈ N,
Una encriptación no biyectiva de U es: { e6, e6, e1, e2, e51, e6, e6 , e3, e4 , e52}
Cambiando los elementos e6∈F por los correspondientes elementos e61, e62, e63, e64 de F' ,
donde F' = { e61 , e62 , e1 , e2 , e51, e63 , e64 , e3 , e 4 , e52}
queda U con una encriptación (biyectiva) así: {{e61, e62, e1, e2, e51, e63, e64, e3, e4 , e52}
Demostración:
Se definen las funciónes f : N → U, g : U → F y h = f o g : N → F dadas por
f ( n ) = u i ( cifra de las unidades de n ) y g ( u i ) = e i ( formas de las unidades )
Se hace la descomposición decimal n = ∑ u i * 10 i y f ( n ) = u 0
i ∈ N
f es lineal y h no biyectiva, pues g no lo es.
Demostración de la linealidad:
Se definen la familia de las funciones multilineales { f i } i ∈ N, con f i : N → U,
haciendo corresponder cada función f i a un número su cifra de las unidades siendo
f i ( n ) = u i∈U y g ( u i ) = e i ∈F
Notas:
a) f = { f i } i ∈ N = { f1 , f 2 , . . . , f i . . . . . } i ∈ N
b) Se hace la descomposición decimal n = ∑ u i * 10 i y f ( n ) = u 0 i ∈ N
c) La cifra de las unidades de la unidad es la propia unidad, o sea, f i ( u i ) = u i .
Así, la encriptación h: f o g : N → F es:
h ( n ) = ( f o g ) ( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑ u i * 10 i ) = g ( ∑ f ( u i ) * 10 i ) ) =
i ∈ N i ∈ N
g ( ∑( f 1, f 2, . . . , f i , . . . . . ) ( u i ) * 10 i ) = g ( { f 1 ( u 1 ), f 2 ( u 2 ) , . . . , f i ( ui i ) , . . } ) =
i ∈ N i ∈ N
{ g ( f 1 ( u 1 ) ), g ( f 2 ( u 2 ) ), . . . . . , g ( f i ( u i ) ) , . . . } i ∈ N =
{ ( f i o g ) ( u 1 ), ( f 2 o g ) ( u 2 ), . . . . . , ( f i o g ) ( u i) , . . . } i ∈ N =
{ ( f i o g ) ( u 1 , u 2 , . . . . . u i , . . . ) } i ∈ N = { h ( u 1 , u 2 , . . . . . u i , . . . ) } i ∈ N =
h ( n ) = { e61 , e62 , e1 , e2 , e51, e63 , e64 , e3 , e4 , e52 }∈ F, con
g ( { u 1 , u 2 , . ., u i, , . . . . . } ) = { e61 , e62 , e1 , e2 , e51, e63 , e64 , e3 , e4 , e52 } ∈ F,
pues f = 1U(identidad ) Está bien definida h.
Por ejemplo, una encriptación del número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 es:
-según las unidades del eje de ordenadas de U:
h { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e6 e6 e1 e2 e51 e6 e6 e3 e4 e52 }
-si queremos que sea la encriptación biyectiva:
h ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e61 e62 e1 e2 e51 e63 e64 e3 e4 e52 }
-según las formas del eje de abscisas de U (no biyectiva):
h ' ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = {e6e6e6e6 e6e6e6e6 e1e2e3e4 e1e2e3e4 e51e6e51e6 e6e6e6e6
e6e6e6e6 e1e2e3e4 e1e2e3e4 e52e6e 52e6 }
-siendo su correspondiente biyectiva: h ' ' ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } ={e61e61e61e61 e62e62e62e62
e1e2e3e4 e1e2e3e4 e51e6e51e6 e63e63e63e63 e64e64e64e64 e1e2e3e4 e1e2e3e4 e52e6e 52e6 }
Las encriptaciones no biyectivas son más difíciles de descifrar que las biyectivas.
