N
Ú M E R O S
REAL
SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA
CARLOS
TORRES MIRANDA
Í N D I C
E
1-
Fórmula del planteamiento bélico y académico de un modelo
matemático
de juego de barcos
2.-
Método de encriptación mejorado no biyectivo de los números
3.-
Método de encriptación de los números
4.-
Estadísticas de los números
5.-
Conjetura sobre la materia oscura y las coordenadas de los números
Intento
dar la importancia que se merecen los números, como creadores de las
matemáticas
y que muchas veces, invisibles, están por todas partes y en todas
las
disciplinas, en
algunas implícitamente en letras, símbolos, fórmulas u otros.
Sea
pues este libro de matemático un pequeño homenaje a los números.
Carlos
Torres Miranda
FÓRMULA
DEL PLANTEAMIENTOS BÉLICO Y ACADÉMICO
DE
UN MODELO MATEMÁTICO DE JUEGO DE BARCOS
Planteamiento
bélico
En
un escenario bélico cuadriculado, p.e., formado por N casillas,
ocupando un
porcentaje
del mismo P hay una flota de barcos en todas sus tipos ó categorías
(portaviones,
acorazados,
de apoyo, etc...), simbolizando el orden creciente de excelencia de
su categoría por
los
elementos del conjunto finito {1, 2., 3 … (n-1), n}nЄN
en ese orden, y que representan sus
dimensiones,
con n ≤ N.
Es
decir, el barco de la categoría Ai
, con 1 ≤
i ≤
n
está representado en el
tablero por
el número
de casillas (ó dimensión) que ocupa, llamándolo ”ai”
, con 1 ≤ ai ≤ n .
Los
barcos A1,
A2,
… An,
ocupan, pues, 1, 2, 3 ..., n casillas del total de N del tablero,
con n ≤
N, en la proporción P = ( n / N ) * 100.
1
Un modelo
de la distribución de las categorías o las dimensiones de los
barcos es, p. e.:
1 barco de
dimensión n (ó de categoría n)
2 barcos
de dimensión (n-1) (ó de categoría (n-1))
3 barcos
de dimensión (n-2) (ó de categoría (n-2))
…............................
(n-2)
barcos de dimensión 3 (ó de categoría 3
(n-1)
barcos de dimensión 2 (ó de categoría 2
n barcos
de dimensión 1 (ó de categoría 1)
Simplificando,
habrá “ i ” barcos de “ n - ( i - 1 ) “ casillas, y la
flota constará de
{ n * ( n +
1 ) } / 2 barcos que ocuparán { n * ( n + 1 ) } / 2 casillas, según
ese modelo.
Formular
una ecuación que calcule la dimensión de los barcos (ó la
categoría), de los
que ocupan
un porcentaje “P” de las N casillas del escenario bélico.
Indicar su
análisis y resolverla.
2
Solución
Cálculo de
n en función de N:
( P / 100 )
* N = 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n –
2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1
i
= n
=
∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]
i
= 1
i
= n i = n
=
∑ ( i . n ) – ∑ [ i * ( i – 1 ) ]
i
= 1 i = 1
i
= n
=
[ ( 1 + n ) / 2 ] * n 2 – ∑ { i * ( i – 1 ) ]
i
= 2
i
= n – 1
=
[ ( 1 + n ) / 2 ] * n 2 – ∑ [ i * ( i + 1 ) ]
i
= 1
i = n – 1
=
n 2 * [ ( n + 1 ) / 2 ] – { [ 1 + ( n – 1 ) ] * (n –
1 ) / 2 } – ∑ i 2
i = 1
i
= n – 1
=
n 2 * [ ( n + 1 ) / 2 ] – [ ( n 2 – n ) / 2
] – ∑ i 2
i
= 1
i
= n – 1
=
( n 3 + n 2 – n 2 + n ) / 2 –
∑ i 2
i = 1
3
=
( n 3 + n ) / 2 – { [ n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 )] /
6 – n 2 }
=
{ 3 * n 3 + 3 * n + 6 * n 2 – ( n
2 + n ) * ( 2 * n + 1 ) } /6
=
( 3 * n 3 + 3 * n + 6 * n 2 – 2 * n 3
– 2 * n 2 – n 2 – n ) / 6
=
( n 3 + 3 * n 2 + 2 * n ) / 6
=
[ n * ( n 2 + 3 * n + 2 ) ] / 6
=
[ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6
i
= 2
∏ [
n + i ]
i
= n
i
= 0
=
∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] =
=
( P / 100 ) * N
i
= 1
6
=
1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) *
3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1
=
(1, 2., 3 … (n-1), n) * (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1)
T = M * N T
matricialmente,
donde
M = (1, 2., 3 … (n-1), n) Є
М 1 * n y
N = (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) Є
М n * 1
Luego,
(
P / 100 ) * N = ( n 3 + 3 * n 2 + 2 * n ) /
6
→ N
= [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) * 100 ] / (6 * P )
→ P
= [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] * 100 / ( 6 * N )
4
→ n
* ( n + 1 ) * ( n + 2 ) = 6 * N * ( P / 100 )
Se trata
de resolver la ecuación:
n 3
+ 3 * n 2 + 2 * n – 6 * P * N / 100 = 0 –> tiene
1 solución natural, por definición.
La calculo
por tanteo:
si P = 100
y
n = 1 →
N = 1
n = 2 →
N = 4
n = 3 →
N = 10
n = 4 →
N = 20
n = 5 →
N = 35
n = 6 →
N = 56
n = 7 →
N = 84
n = 8 →
N = 120
n = 9 →
N = 165
n = 10→ N
= 220
n = 11→ N
= 286
5
n = 12→ N
= 364
…..............
si
P = 100 y
N
= 1 → n = 1
N
= 2 → n
ɇ
N
N
= 3 → n ɇ N
N
= 4 → n = 2
N
= 5 → n ɇ N
N
= 6 → n ɇ
N
N
= 7 → n ɇ N
N
= 8 → n ɇ N
N
= 9 → n ɇ N
N
= 10 → n = 3
…..............
N
= 10000 → n = 100
…..............
N
= 40000 → n = 200
6
…..............
N
= 100000 → n = 300
…...............
Se observa
también que aparecen las sucesiónes, en R :
{1,
4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }
Definimos
la sucesión f: N→N, dada por: f( n ) = 1 / 6 ( n 3
+ 3 * n 2
+ 2 * n )
→ Sucesión
“N” de Torres: { 1, 4, 10, 20,
35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }
Aquí, n
tende a infinito si y solo si N tiende a infinito, pero N no es
infinito, aunque
sí es todo
lo grande que se quiera.
Planteamiento
académico
Antes
ya usábamos P=100, pero era 1
≤ P ≤ 100.
Ahora, las
fórmulas anteriores son válidas aquí pero con P=100, pues todas
las preguntas puntuan.
La
distribución de las preguntas del exámen será, p.e.:
1 pregunta
de puntuación (ó dificultad ó valor) n puntos
2 cuestióes
de puntuación (ó dificultad) (n – 1) puntos
3 cuestióes
de puntuación (ó dificultad) (n – 2) puntos
….........................................................................
7
(n – 1)
cuestióes de puntuación (ó dificultad) 2 puntos
n cuestióes
de puntuación (ó dificultad) 1 punto
Entre las
[ n * (n + 1) } / 2 ] preguntas se repartirán [ n * (n + 1) } / 2 ]
puntos, según la
distribución
anterior.
.
El baremo
más simple de aprobado es alcanzar 5 puntos sin más condiciones.
A modo
indicativo, el tipo de cuestiones que se solucionan es:
“Si con
el modelo anterior todas las preguntas se puntuan de 1 a 10 y en la
prueba se reparten
1320
puntos:
a)
¿Cuántas valdrán 8 puntos?
b)
¿Cuántos puntos se necesitan parta obtener un 8 de notable?
c)
¿Qué probabilidad hay de que pongan cierta cuestión queriendo
obtener un número
determinaado
de puntos?”
8
Solución:
N
= 1320 puntos → n = 10 → 1 pregunta de 10 puntos y/ó 10
preguntas de 1 punto.
→ 55
preguntas en total.
Fórmula
principal, con P = 100 para tests:
i
= 2
∏ [
n + i ]
i
= n
i
= 0
∑ [
i . [ n – ( i – 1 ) ] =
=
N
i
= 1
6
9
MÉTODO
DE ENCRIPTACIÓN
MEJORADO NO BIYECTIVO DE LOS NÚMEROS
Un modo S es
analizar las unidades. pues los dígitos que forman los números son
unidades
concatenadas.
Se forma la tabla
o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de
la
misma la cifra de
las unidades del resultado de calcular xy. En el eje de
las abscisas hay formas de
números y en el
de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U
indefinidamente en bloques
cada 4 columnas.
En resúmen, U es
la matriz sintetizada de:
Y 0
1 2 ...
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
0 -
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1
2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1
3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1
4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1
7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1
8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz
U de las unidades: para todo n e N es:
X Y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0 0 0 0
0
1 1 1 1
1
2 2 4 8
6
3 3 9 7
1
4 4 6 4
6
5 5 5 5
5
6 6 6 6
6
7 7 9 3
1
8 8 4 2
6
9 9 1 9
1
10
NOMENCLATURA PARA
LAS FORMAS:
Se indica a la
derecha la unidad inicial de las cuaternas de cada forma.
A = {4n+1} =
e1
→ 2
B
= {4n+2} = e2 → 3
C
= {4n+3} = e3 → 7
D
= {4n+4} = e4 → 8
E
= {4n+1, 4n+2} -
F
= {4n+1, 4n+3} = e51
→
4
G
={4n+1, 4n+4} -
H
={4n+2, 4n+3} -
I = {4n+2, 4n+4} = e52
J = {4n+3, 4n+4}
- → 9
K = {4n+1, 4n+2,
4n+3} -
L = {4n+1, 4n+2,
4n+4,} -
M = {4n+1, 4n+3,
4n+4} -
N = {4n+2, 4n+3,
4n+4} -
O = {4n+1, 4n+2,
4n+3, 4n+4} = e6 → 0, 1, 5, 6
EQUIVALENCIAS EN
LAS CUATERNAS DE U (cuestión topológica):
0, 1, 5, 6 - O
(4 elementos iguales)
2, 3, 7, 8 - A,
B, C, D (4 elementos distintos)
4, 9 -
F, I (2 pares iguales o distintos)
FUNCIÓN DE
ENCRIPTACIÓN:
Sean los
conjuntos: N de los números
naturales,
U * = { u i }
i e N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } (conjunto de
las unidades) ⸦
U
y
F
= { e1
,
e2
, e3
, e4
, e51
, e
52,
e
6 }
⸦
F * = { e1
,
e2
,
e 3,
e
3,
E, e51,
G, H, I
,
e
52,
K, L, M, N, e
6 },
con 0 ≤
u i ≤ 9,
u i ∈ U
*, u ∈
U e i, n ∈ N.
Se definen las
funciónes f : N → U *, g : U * → F y h = f o g
: N → F dadas por
f ( n ) = u i
( cifra de las unidades de n ) y g ( u i ) = e i (
formas de las unidades )
i = 9
Se hace la
descompoición decimal n
= ∑ u i
* 10 i
y f ( n ) = u 0
i = 0
Se definen las
funciones multilineales f i : N → U * , dada por
f i (n) = u
i∈U
* y
g ( u i
)
= eI∈F
Nota: f = { f 1,
f 2, . . . , f 8 } = { f i }0
≤
i ≤
9
11
Así, la
encriptación h , que no es
biyectiva, por ser lineal , y sabiendo que la última cifra de la
unidad
es la propia unidad, o que f ( u i
) = u i
es:
i = 9
h
( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑
u i
* 10 i
) = g ( ∑
f
( u
i
) * 10 i
) ) =
i =
0
i =
0
i
= 9
g ( ∑{ f 1,
f 2,
. . . , f 9
} ( u
i
) * 10 i
) = g ( { f 1
( u 1
), f 2
( u 2
)
,
. . . , f 9
(
ui
) } ) =
i =
0
g ( n )
=
{e6
e6
e1
e2
e3
e4
e1
e2
e3
e4
e 5
1
e
5
2
e6
e6
e1
e2
e3
e4
e1
e2
e3
e4
e 5
1
e
5
2
}∈
F, V n∈N
Está
bien definida h.
Así
definida, con menor rigor matemático, una encriptación de los
números
0-1-2-3-4-5-6-7-8-9
es
O-O-ABCD-ABCD-FI.O-O-ABCD-
ABCD-FI, o bien:
e6
-
e6
-
e1
e2
e3
e4
- e1
e2
e3
e4
- e 5
1e
5
2
-
e6
-
e6
–
e1
e2
e3
e4
- e1
e2
e3
e4
-
e 5
1
e
5
2
Observación: g no se puede desencriptar
fácilmente al no ser biyectiva.
12
MÉTODO
DE ENCRIPTACIÓN DE LOS NÚMEROS
Un modo S es
analizar las unidades. pues los dígitos que forman los números son
unidades
concatenadas.
Se forma la tabla
o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de
la
misma la cifra de
las unidades del resultado de calcular xy. En el eje de
las abscisas hay formas de
números y en el
de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U
indefinidamente en bloques
cada 4 columnas,
formando cuaternas.
En resúmen, U es
la matriz simplificada de
Y 0
1 2 ...
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
0 -
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1
2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1
3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1
4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1
7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1
8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz
U de las unidades para todo n e N es:
x y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0 0 0 0
0
1 1 1 1
1
2 2 4 8
6
3 3 9 7
1
4 4 6 4
6
5 5 5 5
5
6 6 6 6
6
7 7 9 3
1
8 8 4 2
6
9 9 1 9
1
13
NOMENCLATURA PARA LAS
FORMAS DE LAS CUATERNAS DE U
Elementos de la
cuaterna de U pertenecen a la misma forma si son iguales
topológicamente.
Se indica a la
derecha la unidad inicial de cada forma de las cuaternas.
Las formas de las
cuaternas son:
{4n+1}
e1
→ e1
= 2
{4n+2}
e2
→ e2 = 3
{4n+3}
e3
→ e3 = 7
{4n+4}
e4
→ e4 = 8
{4n+1,
4n+2} -
{4n+1,
4n+3} e51
→ e51 = 4
{4n+1,
4n+4} -
{4n+2,
4n+3} -
{4n+2,
4n+4} e52
→ e52 = 9
{4n+3, 4n+4}
-
{4n+1, 4n+2, 4n+3}
-
{4n+1, 4n+2, 4n+4}
-
{4n+1, 4n+3, 4n+4}
-
{4n+2, 4n+3, 4n+4}
-
{4n+1, 4n+2, 4n+3,
4n+4} e6
→ 0
= e61
→
1 = e62
→
5 = e63
→
6 = e64
Las formas a las
que no corresponde unidad no existen en U.
RELACIONES
DE EQUIVALENCIA EN LAS CUATERNAS DE U
0,
1, 5, 6 - e61,
e62,
e63,
e64
(elementos distintos obtenidos de igual forma)
CORRESPONDENCIA
2,
3, 7, 8 - e1
,
e2,
e3
, e4
(elementos distintos obtenidos de distinta forma)
APLICACIÓN BIYECTIVA
4,
9 - e51,
e52
(pares similares obtenidos de
distinta forma)
14
FUNCIÓN
DE ENCRIPTACIÓN
Sean los
conjuntos: N de los números
naturales,
U = { u i }
i e N = { 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } de las unidades, y
F
= {
e6
,
e6
,
e1
,
e2
,
e51,
e6
,
e6
,
e3
,
e4
,
e52}
de
las formas de las cuaternas de U,
con 0 ≤
u i ≤ 9,
1 ≤ e i
≤ 6, u i
∈ U, e i
∈ F, e i, n ∈
N,
Una
encriptación no biyectiva de U es:
{ e6,
e6,
e1,
e2,
e51,
e6,
e6
,
e3,
e4
,
e52}
Cambiando
los elementos e6∈F
por
los correspondientes
elementos
e61,
e62,
e63,
e64
de
F' ,
donde
F' = {
e61
,
e62
,
e1
,
e2
,
e51,
e63
,
e64
,
e3
,
e 4
,
e52}
queda
U con una encriptación (biyectiva) así:
{{e61,
e62,
e1,
e2,
e51,
e63,
e64,
e3,
e4
,
e52}
Demostración:
Se definen las
funciónes f : N → U, g : U → F y h = f o g
: N → F dadas por
f ( n ) = u i
( cifra de las unidades de n ) y g ( u i ) = e i (
formas de las unidades )
Se hace la
descomposición decimal n
= ∑ u i
* 10 i
y f ( n ) = u 0
i ∈
N
f es lineal y h no
biyectiva, pues g no lo es.
Demostración de
la linealidad:
Se definen la
familia de las funciones multilineales { f i } i ∈
N, con f i : N → U,
haciendo
corresponder cada función f i a un número su cifra de
las unidades siendo
f i (
n ) = u
i∈U
y
g ( u i
)
= e i
∈F
15
Notas:
a) f = { f i
} i ∈
N = { f1 , f 2 , . . . , f i
. . . . . } i ∈
N
b) Se hace la
descomposición decimal n
= ∑ u i
* 10 i
y f ( n ) = u 0
i ∈
N
c) La cifra de
las unidades de la unidad es la propia unidad, o
sea, f i
( u i
) = u i
.
Así, la
encriptación h: f o g : N → F
es:
h
( n ) = ( f o g ) ( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑
u i
* 10 i
) = g ( ∑
f
( u
i
) * 10 i
) ) =
i
∈
N
i ∈
N
g
( ∑( f 1,
f 2,
. . . , f i
, . . . . . ) ( u
i
) * 10 i
) = g (
{ f
1
( u 1
), f 2
( u 2
)
,
. . . , f i
(
ui
i )
, . . }
)
i ∈
N
=
i ∈
N
{
g ( f 1
( u 1
) ), g ( f 2
( u 2
)
), . . . . . , g ( f i
(
u
i )
) , . . . }
i ∈
N
=
{
( f i
o
g ) ( u 1
),
( f 2
o
g ) ( u 2
),
. . . . . , ( f i
o
g ) ( u i)
, . . . }
i ∈
N
=
{
( f i
o
g ) ( u 1
,
u 2
,
. . . . . u i
,
. . . ) }
i ∈
N
=
{ h ( u 1
,
u 2
,
. . . . . u i
,
. . . ) }
i ∈
N
=
h
( n ) = {
e61
,
e62
,
e1
,
e2
,
e51,
e63
,
e64
,
e3
,
e4
,
e52
}∈
F,
con
g
( { u 1
,
u 2
,
. ., u i,
,
. . . . . } ) =
{ e61
,
e62
,
e1
,
e2
,
e51,
e63
,
e64
,
e3
,
e4
,
e52
}
∈
F, pues f = 1U(identidad
)
Está
bien definida h.
Por
ejemplo, una encriptación del número 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
es,
-según
las unidades del eje de ordenadas de U:
h
{ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e6
e6
e1
e2
e51
e6
e6
e3
e4
e52
}
-si
queremos que sea la encriptación biyectiva:
h
' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e61
e62
e1
e2
e51
e63
e64
e3
e4
e52
}
-según las formas del eje de abscisas de U
(no biyectiva):
h
' ' {
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = {e6e6e6e6
e6e6e6e6
e1e2e3e4
e1e2e3e4
e51e6e51e6
e6e6e6e6
e6e6e6e6
e1e2e3e4
e1e2e3e4
e52e6e
52e6
}
16
-siendo su correspondiente
biyectiva:
h
' ' ' {
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } ={e61e61e61e61
e62e62e62e62
e1e2e3e4
e1e2e3e4
e51e6e51e6
e63e63e63e63
e64e64e64e64
e1e2e3e4
e1e2e3e4
e52e6e
52e6
}
Las
encriptaciones no biyectivas son más dificiles de descifrar e las
biyectivas.
17
ESTADÍSTICAS
DE LOS NÚMEROS
Se forma la tabla o matriz (llamada matriz U de las
Unidades), siendo los elementos de la
misma la cifra de
las unidades del resultado de calcular xy. En el eje de
las abscisas hay formas de
números y en el
de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U
indefinidamente en bloques
cada 4 columnas,
formando cuaternas.
En resúmen, U es
la matriz simplificada de
Y 0
1 2 ...
X
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
0 -
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 -
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1
2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1
3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1
4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1
7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1
8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz
U de las unidades (reducida o explicita) para todo n e N es:
x y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0 0 0 0
0
1 1 1 1
1
2 2 4 8
6
3 3 9 7
1
4 4 6 4
6
5 5 5 5
5
6 6 6 6
6
7 7 9 3
1
8 8 4 2
6
9 9 1 9
1
18
En la matriz reducida o
explícita:
n → f (n) = {O(2), D2IO(2),
AC(4), B2F(2)}
Nominamos:
A = {4n+1}
2387
B = {4n+2}
4292
C = {4n+3}
8732
D = {4n+4}
6212
E = {4n+1, 4n+2}
-
F = {4n+1, 4n+3}
49
G ={4n+1, 4n+4}
-
H ={4n+2, 4n+3}
-
I ={4n+2, 4n+4}
61
J = {4n+3, 4n+4}
-
K ={4n+1, 4n+2, 4n+3}
-
L = {4n+1, 4n+2, 4n+4}
-
M ={4n+1, 4n+3, 4n+4}
-
N = {4n+2, 4n+3, 4n+4}
-
O = {4n+1, 4n+2, 4n+3, 4n+4}
5601
19
Con estas estadísticas se ponen
las unidades en los ejes y las letras en la matriz:
5 6
7 0 1 4. 9 2. 3 .8
A1 5 O
→ f1
(5) = F (A1) = O
A2 6
D2IO
→ f2 (5) = F (A2) = D2IO
A3 7
AC → f3
(5) = F (A3) = AC
A4 0
O → f4
(5) = F (A4) = O
A4 1
D2IO
→ f4 (5) = F (A4) = D2IO
A5 4, 9
B2F
→ f5 (5) = F (A5) = B2F
A6 2, 3, 8
AC → f6
(5) = F (A6) = AC
fi (5) = F (Ai)
Más explicitamente:
5 6 7
0 1 4 9 2 3 8
A1 5 O
A2 6 D2IO
A3 7
AC
A4 0
O
A4 1
D2IO
A5 4
B2F/2
A5 9
B2F/2
A6 2
AC/3
A6 3
AC/3
A6 8
AC/3
20
NOTA
También
se puede utilizar para extraer estadísticas lo siguiente:
El
conjunto G = {n ∈
N I 0 ≤ n ≤ 9} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se puede
clasificar
dotándolo de la relación R: G ---> G
definida por:
y1
R(n)={m∈G
I la extensión del ciclo observado al calcular cada
dígito de m
v
y2
es igual
que la del observado al calcular ese mismo dígito en n
,
para cada n∈G, ∀y1∈N
y ∀y2∈N},
y que determina la siguiente partición de G:
℘ =
{{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
Se
tiene pues la partición de G: ℘
= {{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
=
{{{5}, {6}, {7}}, {{0, 1}, {4, 9}}, {2, 3, 8}}
= {Ai} con 1 ≤ i ≤ 6
y
por tanto: A1 =
{5}
A2 =
{6}
A3 =
{7}
A4 =
{0, 1}
A5 =
{4, 9}
A6 =
{2, 3, 8}
21
CONJETURA
SOBRE LA MATERIA OSCURA
Y
LAS
COORDENADAS DE LOS NÚMEROS
Leer
"Divagando e indagando con las unidades matemáticas" de
Carlos Torres Miranda. Editorial Pirineo
El
conjunto G = {n ∈
N I 0 ≤ n ≤ 9} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Ɍʀ
se puede clasificar
dotándolo
de la relación R: G ---> G definida por:
y1
R(n)={m∈G
I la extensión del ciclo observado al calcular cada
dígito de m
y2
es
igual que la del observado al calcular ese mismo dígito en
n ,
para
cada n∈G, ∀y1∈N
y ∀y2∈N},
y que determina la siguiente partición de G:
℘ =
{{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
Se
tiene pues la partición
de G: ℘
= {{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
=
{{{5}, {6}, {7}}, {{0, 1}, {4, 9}}, {2, 3, 8}}
=
{Ai} con 1 ≤ i ≤ 6
y
por tanto: A1 =
{5}
A2 =
{6}
A3 =
{7}
A4 =
{0, 1}
A5 =
{4, 9}
A6 =
{2, 3, 8}
Nº
de unidades de los subconjuntos Ai →
1+1+1+2+2+3 = 10 →
→ materia
oscura
'Combinaciones'
en los dígitos de los subconjuntos Ai →
1.1.1.2.2.3 = 12
→ materia
total
Diferencia
= 12 – 10 = 2 →
→ materia
observable
Porcentajes
en el universo:
%
de materia observable: 2 / 12 = 1 / 6
%
de materia oscura : 10 / 12 = 0 ' 83
22
EJEMPLO:
a)
Coordenadas de 1234567890
1234567890
→ {(Ai, Mk)}1≤i≤6 =
k≥0, keN
=
{(A2,
M9),
(A1,
M8),
(A1,
M7),
(A3,
M6),
(5, CM),
(6,
DM), (7, UM), (A1,
C), (A3,
D), (A2,
U)} =
= 1234567890,
1234567891, 1234567840, 1234567841,
1234567390,
1234567391, 1234567340, 1234567341,
1234567290,
1234567291, 1234567240, 1234567241,
cambiar
4 por 9)
1239567890,
1239567891, 1239567840, 1239567841,
1239567390,
1239567391, 1239567340, 1239567341,
1239567290,
1239567291, 1239567240, 1239567241,
3
por 8)
1284567890,
1284567891, 1284567840, 1284567841,
1284567390,
1284567391, 1284567340, 1284567341,
1284567290,
1284567291, 1284567240, 1284567241,
1289567890,
1289567891, 1289567840, 1289567841,
1289567390,
1289567391, 1289567340, 1289567341,
1289567290,
1289567291, 1289567240, 1289567241,
3
por 2)
1224567890,
1224567891, 1224567840, 1224567841,
1224567390,
1224567391, 1224567340, 1224567341,
1224567290,
1224567291, 1224567240, 1224567241,
1229567890,
1229567891, 1229567840, 1229567841,
1229567390,
1229567391, 1229567340, 1229567341,
1229567290,
1229567291, 1229567240, 1229567241,
2
por 8 )
1834567890,
1834567891, 1834567840, 1834567841,
1834567390,
1834567391, 1834567340, 1834567341,
1834567290,
1834567291, 1834567240, 1834567241,
1839567890,
1839567891, 1839567840, 1839567841,
1839567390,
1839567391, 1839567340, 1839567341,
1839567290,
1839567291, 1839567240, 1839567241,
1884567890,
1884567891, 1884567840, 1884567841,
1884567390,
1884567391, 1884567340, 1884567341,
1884567290,
1884567291, 1884567240, 1884567241,
1889567890,
1889567891, 1889567840, 1889567841,
1889567390,
1889567391, 1889567340, 1889567341,
1889567290,
1889567291, 1889567240, 1889567241,
23
1824567890,
1824567891, 1824567840, 1824567841,
1824567390,
1824567391, 1824567340, 1824567341,
1824567290,
1824567291, 1824567240, 1824567241,
1829567890,
1829567891, 1829567840, 1829567841,
1829567390,
1829567391, 1829567340, 1829567341,
1829567290,
1829567291, 1829567240, 1829567241,
2
por 3)
1334567890,
1334567891, 1834567840, 1834567841,
1334567390,
1334567391, 1834567340, 1834567341,
1334567290,
1334567291, 1834567240, 1834567241,
1339567890,
1339567891, 1839567840, 1839567841,
1339567390,
1339567391, 1839567340, 1839567341,
1339567290,
1339567291, 1839567240, 1839567241,
1384567890,
1384567891, 1884567840, 1884567841,
1384567390,
1384567391, 1884567340, 1884567341,
1384567290,
1384567291, 1884567240, 1884567241,
1389567890,
1389567891, 1889567840, 1889567841,
1389567390,
1389567391, 1889567340, 1889567341,
1389567290,
1389567291, 1889567240, 1889567241,
1324567890,
1324567891, 1824567840, 1824567841,
1324567390,
1324567391, 1824567340, 1824567341,
1324567290,
1324567291, 1824567240, 1824567241,
1329567890,
1329567891, 1829567840, 1829567841,
1329567390,
1329567391, 1829567340, 1829567341,
1329567290,
1329567291, 1829567240, 1829567241,
cambiar
1 inicial por 0 en los números anteriores)
0234567890,
0234567891, 0234567840, 0234567841,
0234567390,
0234567391, 0234567340, 0234567341,
0234567290,
0234567291, 0234567240, 0234567241,
0239567890,
0239567891, 0239567840, 0239567841,
0239567390,
0239567391, 0239567340, 0239567341,
0239567290,
0239567291, 0239567240, 0239567241,
0284567890,
0284567891, 0284567840, 0284567841,
0284567390,
0284567391, 0284567340, 0284567341,
0284567290,
0284567291, 0284567240, 0284567241,
0289567890,
0289567891, 0289567840, 0289567841,
0289567390,
0289567391, 0289567340, 0289567341,
0289567290,
0289567291, 0289567240, 0289567241,
0224567890,
0224567891, 0224567840, 0224567841,
0224567390,
0224567391, 0224567340, 0224567341,
0224567290,
0224567291, 0224567240, 0224567241,
0229567890,
0229567891, 0229567840, 0229567841,
0229567390,
0229567391, 0229567340, 0229567341,
0229567290,
0229567291, 0229567240, 0229567241,
24
0834567890,
0834567891, 0834567840, 0834567841,
0834567390,
0834567391, 0834567340, 0834567341,
0834567290,
0834567291, 0834567240, 0834567241,
0839567890,
0839567891, 0839567840, 0839567841,
0839567390,
0839567391, 0839567340, 0839567341,
0839567290,
0839567291, 0839567240, 0839567241,
0884567890,
0884567891, 0884567840, 0884567841,
0884567390,
0884567391, 0884567340, 0884567341,
0884567290,
0884567291, 0884567240, 0884567241,
0889567890,
0889567891, 0889567840, 0889567841,
0889567390,
0889567391, 0889567340, 0889567341,
0889567290,
0889567291, 0889567240, 0889567241,
0824567890,
0824567891, 0824567840, 0824567841,
0824567390,
0824567391, 0824567340, 0824567341,
0824567290,
0824567291, 0824567240, 0824567241,
0829567890,
0829567891, 0829567840, 0829567841,
0829567390,
0829567391, 0829567340, 0829567341,
0829567290,
0829567291, 0829567240, 0829567241,
0334567890,
0334567891, 0834567840, 0834567841,
0334567390,
0334567391, 0834567340, 0834567341,
0334567290,
0334567291, 0834567240, 0834567241,
0339567890,
0339567891, 0839567840, 0839567841,
0339567390,
0339567391, 0839567340, 0839567341,
0339567290,
0339567291, 0839567240, 0839567241,
0384567890,
0384567891, 0884567840, 0884567841,
0384567390,
0384567391, 0884567340, 0884567341,
0384567290,
0384567291, 0884567240, 0884567241,
0389567890,
0389567891, 0889567840, 0889567841,
0389567390,
0389567391, 0889567340, 0889567341,
0389567290,
0389567291, 0889567240, 0889567241,
0324567890,
0324567891, 0824567840, 0824567841,
0324567390,
0324567391, 0824567340, 0824567341,
0324567290,
0324567291, 0824567240, 0824567241,
0329567890,
0329567891, 0829567840, 0829567841,
0329567390,
0329567391, 0829567340, 0829567341,
0329567290,
0329567291, 0829567240, 0829567241
Total:
2.3.3.2.1.1.1.3.2.2=432
números coordenan el nº 1234567890
b) Coordenadas
de 567
567
→ 567 (1
número)
25
c) Coordenadas
de 1, 0, 10 y 01
1
→ 0, 1 (2
números)
0
→ 0, 1
10 →
(0, 1)(0, 1)
01 →
(0, 1)(0, 1)
d) Coordenadas
de 3
3
→ 2, 3, 8 (3 números)
e) Coordenadas
de 5
5
→ 5
Nota:
Se supone en este caso el sistema de numeración decimal.
26
