N Ú M E R O S
REAL SOCIEDAD MATEMÁTICA ESPAÑOLA
CARLOS TORRES MIRANDA
Í N D I C E
1- Fórmula del planteamiento bélico y académico de un modelo
matemático de juego de barcos
2.- Método de encriptación mejorado no biyectivo de los números
3.- Método de encriptación de los números
4.- Estadísticas de los números
5.- Conjetura sobre la materia oscura y las coordenadas de los números
Intento dar la importancia que se merecen los números, como creadores de las
matemáticas y que muchas veces, invisibles, están por todas partes y en todas las
disciplinas, en algunas implícitamente en letras, símbolos, fórmulas u otros.
Sea pues este libro de matemático un pequeño homenaje a los números.
Carlos Torres Miranda
FÓRMULA DEL PLANTEAMIENTOS BÉLICO Y ACADÉMICO
DE UN MODELO MATEMÁTICO DE JUEGO DE BARCOS
Planteamiento bélico
En un escenario bélico cuadriculado, p.e., formado por N casillas, ocupando un
porcentaje del mismo P hay una flota de barcos en todas sus tipos ó categorías (portaviones,
acorazados, de apoyo, etc...), simbolizando el orden creciente de excelencia de su categoría por
los elementos del conjunto finito {1, 2., 3 … (n-1), n}nЄN en ese orden, y que representan sus
dimensiones, con n ≤ N.
Es decir, el barco de la categoría Ai , con 1 ≤ i ≤ n está representado en el tablero por
el número de casillas (ó dimensión) que ocupa, llamándolo ”ai” , con 1 ≤ ai ≤ n .
Los barcos A1, A2, … An, ocupan, pues, 1, 2, 3 ..., n casillas del total de N del tablero,
con n ≤ N, en la proporción P = ( n / N ) * 100.
1
Un modelo de la distribución de las categorías o las dimensiones de los barcos es, p. e.:
1 barco de dimensión n (ó de categoría n)
2 barcos de dimensión (n-1) (ó de categoría (n-1))
3 barcos de dimensión (n-2) (ó de categoría (n-2))
…............................
(n-2) barcos de dimensión 3 (ó de categoría 3
(n-1) barcos de dimensión 2 (ó de categoría 2
n barcos de dimensión 1 (ó de categoría 1)
Simplificando, habrá “ i ” barcos de “ n - ( i - 1 ) “ casillas, y la flota constará de
{ n * ( n + 1 ) } / 2 barcos que ocuparán { n * ( n + 1 ) } / 2 casillas, según ese modelo.
Formular una ecuación que calcule la dimensión de los barcos (ó la categoría), de los
que ocupan un porcentaje “P” de las N casillas del escenario bélico.
Indicar su análisis y resolverla.
2
Solución
Cálculo de n en función de N:
( P / 100 ) * N = 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1
i = n
= ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ]
i = 1
i = n i = n
= ∑ ( i . n ) – ∑ [ i * ( i – 1 ) ]
i = 1 i = 1
i = n
= [ ( 1 + n ) / 2 ] * n 2 – ∑ { i * ( i – 1 ) ]
i = 2
i = n – 1
= [ ( 1 + n ) / 2 ] * n 2 – ∑ [ i * ( i + 1 ) ]
i = 1
i = n – 1
= n 2 * [ ( n + 1 ) / 2 ] – { [ 1 + ( n – 1 ) ] * (n – 1 ) / 2 } – ∑ i 2
i = 1
i = n – 1
= n 2 * [ ( n + 1 ) / 2 ] – [ ( n 2 – n ) / 2 ] – ∑ i 2
i = 1
i = n – 1
= ( n 3 + n 2 – n 2 + n ) / 2 – ∑ i 2
i = 1
3
= ( n 3 + n ) / 2 – { [ n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 )] / 6 – n 2 }
= { 3 * n 3 + 3 * n + 6 * n 2 – ( n 2 + n ) * ( 2 * n + 1 ) } /6
= ( 3 * n 3 + 3 * n + 6 * n 2 – 2 * n 3 – 2 * n 2 – n 2 – n ) / 6
= ( n 3 + 3 * n 2 + 2 * n ) / 6
= [ n * ( n 2 + 3 * n + 2 ) ] / 6
= [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] / 6
i = 2
∏ [ n + i ]
i = n i = 0
= ∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] = = ( P / 100 ) * N
i = 1 6
= 1 * n + 2 * ( n – 1 ) + 3 * ( n – 2 ) +..... + ( n – 2 ) * 3 + ( n – 1 ) * 2 + n * 1
= (1, 2., 3 … (n-1), n) * (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) T = M * N T matricialmente,
donde M = (1, 2., 3 … (n-1), n) Є М 1 * n y N = (n, (n-1), (n-2), … 3, 2, 1) Є М n * 1
Luego,
( P / 100 ) * N = ( n 3 + 3 * n 2 + 2 * n ) / 6
→ N = [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) * 100 ] / (6 * P )
→ P = [ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) ] * 100 / ( 6 * N )
4
→ n * ( n + 1 ) * ( n + 2 ) = 6 * N * ( P / 100 )
Se trata de resolver la ecuación:
n 3 + 3 * n 2 + 2 * n – 6 * P * N / 100 = 0 –> tiene 1 solución natural, por definición.
La calculo por tanteo:
si P = 100 y
n = 1 → N = 1
n = 2 → N = 4
n = 3 → N = 10
n = 4 → N = 20
n = 5 → N = 35
n = 6 → N = 56
n = 7 → N = 84
n = 8 → N = 120
n = 9 → N = 165
n = 10→ N = 220
n = 11→ N = 286
5
n = 12→ N = 364
…..............
si P = 100 y
N = 1 → n = 1
N = 2 → n ɇ N
N = 3 → n ɇ N
N = 4 → n = 2
N = 5 → n ɇ N
N = 6 → n ɇ N
N = 7 → n ɇ N
N = 8 → n ɇ N
N = 9 → n ɇ N
N = 10 → n = 3
…..............
N = 10000 → n = 100
…..............
N = 40000 → n = 200
6
…..............
N = 100000 → n = 300
…...............
Se observa también que aparecen las sucesiónes, en R :
{1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }
Definimos la sucesión f: N→N, dada por: f( n ) = 1 / 6 ( n 3 + 3 * n 2 + 2 * n )
→ Sucesión “N” de Torres: { 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364 ,,,.. }
Aquí, n tende a infinito si y solo si N tiende a infinito, pero N no es infinito, aunque
sí es todo lo grande que se quiera.
Planteamiento académico
Antes ya usábamos P=100, pero era 1 ≤ P ≤ 100.
Ahora, las fórmulas anteriores son válidas aquí pero con P=100, pues todas las preguntas puntuan.
La distribución de las preguntas del exámen será, p.e.:
1 pregunta de puntuación (ó dificultad ó valor) n puntos
2 cuestióes de puntuación (ó dificultad) (n – 1) puntos
3 cuestióes de puntuación (ó dificultad) (n – 2) puntos
….........................................................................
7
(n – 1) cuestióes de puntuación (ó dificultad) 2 puntos
n cuestióes de puntuación (ó dificultad) 1 punto
Entre las [ n * (n + 1) } / 2 ] preguntas se repartirán [ n * (n + 1) } / 2 ] puntos, según la
distribución anterior.
.
El baremo más simple de aprobado es alcanzar 5 puntos sin más condiciones.
A modo indicativo, el tipo de cuestiones que se solucionan es:
“Si con el modelo anterior todas las preguntas se puntuan de 1 a 10 y en la prueba se reparten
1320 puntos:
a) ¿Cuántas valdrán 8 puntos?
b) ¿Cuántos puntos se necesitan parta obtener un 8 de notable?
c) ¿Qué probabilidad hay de que pongan cierta cuestión queriendo obtener un número
determinaado de puntos?”
8
Solución:
N = 1320 puntos → n = 10 → 1 pregunta de 10 puntos y/ó 10 preguntas de 1 punto.
→ 55 preguntas en total.
Fórmula principal, con P = 100 para tests:
i = 2
∏ [ n + i ]
i = n i = 0
∑ [ i . [ n – ( i – 1 ) ] = = N
i = 1 6
9
MÉTODO DE ENCRIPTACIÓN
MEJORADO NO BIYECTIVO DE LOS NÚMEROS
Un modo S es analizar las unidades. pues los dígitos que forman los números son unidades
concatenadas.
Se forma la tabla o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de la
misma la cifra de las unidades del resultado de calcular xy. En el eje de las abscisas hay formas de
números y en el de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U indefinidamente en bloques
cada 4 columnas.
En resúmen, U es la matriz sintetizada de:
Y 0 1 2 ...
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz U de las unidades: para todo n e N es:
X Y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 4 8 6
3 3 9 7 1
4 4 6 4 6
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 9 3 1
8 8 4 2 6
9 9 1 9 1
10
NOMENCLATURA PARA LAS FORMAS:
Se indica a la derecha la unidad inicial de las cuaternas de cada forma.
A = {4n+1} = e1 → 2
B = {4n+2} = e2 → 3
C = {4n+3} = e3 → 7
D = {4n+4} = e4 → 8
E = {4n+1, 4n+2} -
F = {4n+1, 4n+3} = e51 → 4
G ={4n+1, 4n+4} -
H ={4n+2, 4n+3} -
I = {4n+2, 4n+4} = e52
J = {4n+3, 4n+4} - → 9
K = {4n+1, 4n+2, 4n+3} -
L = {4n+1, 4n+2, 4n+4,} -
M = {4n+1, 4n+3, 4n+4} -
N = {4n+2, 4n+3, 4n+4} -
O = {4n+1, 4n+2, 4n+3, 4n+4} = e6 → 0, 1, 5, 6
EQUIVALENCIAS EN LAS CUATERNAS DE U (cuestión topológica):
0, 1, 5, 6 - O (4 elementos iguales)
2, 3, 7, 8 - A, B, C, D (4 elementos distintos)
4, 9 - F, I (2 pares iguales o distintos)
FUNCIÓN DE ENCRIPTACIÓN:
Sean los conjuntos: N de los números naturales,
U * = { u i } i e N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } (conjunto de las unidades) ⸦ U
y F = { e1 , e2 , e3 , e4 , e51 , e 52, e 6 } ⸦ F * = { e1 , e2 , e 3, e 3, E, e51, G, H, I , e 52, K, L, M, N, e 6 },
con 0 ≤ u i ≤ 9, u i ∈ U *, u ∈ U e i, n ∈ N.
Se definen las funciónes f : N → U *, g : U * → F y h = f o g : N → F dadas por
f ( n ) = u i ( cifra de las unidades de n ) y g ( u i ) = e i ( formas de las unidades )
i = 9
Se hace la descompoición decimal n = ∑ u i * 10 i y f ( n ) = u 0
i = 0
Se definen las funciones multilineales f i : N → U * , dada por f i (n) = u i∈U * y g ( u i ) = eI∈F
Nota: f = { f 1, f 2, . . . , f 8 } = { f i }0 ≤ i ≤ 9
11
Así, la encriptación h , que no es biyectiva, por ser lineal , y sabiendo que la última cifra de la
unidad es la propia unidad, o que f ( u i ) = u i es:
i = 9
h ( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑ u i * 10 i ) = g ( ∑ f ( u i ) * 10 i ) ) =
i = 0 i = 0
i = 9
g ( ∑{ f 1, f 2, . . . , f 9 } ( u i ) * 10 i ) = g ( { f 1 ( u 1 ), f 2 ( u 2 ) , . . . , f 9 ( ui ) } ) =
i = 0
g ( n ) = {e6 e6 e1 e2 e3 e4 e1 e2 e3 e4 e 5 1 e 5 2 e6 e6 e1 e2 e3 e4 e1 e2 e3 e4 e 5 1 e 5 2 }∈ F, V n∈N
Está bien definida h.
Así definida, con menor rigor matemático, una encriptación de los números
0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 es O-O-ABCD-ABCD-FI.O-O-ABCD- ABCD-FI, o bien:
e6 - e6 - e1 e2 e3 e4 - e1 e2 e3 e4 - e 5 1e 5 2 - e6 - e6 – e1 e2 e3 e4 - e1 e2 e3 e4 - e 5 1 e 5 2
Observación: g no se puede desencriptar fácilmente al no ser biyectiva.
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MÉTODO DE ENCRIPTACIÓN DE LOS NÚMEROS
Un modo S es analizar las unidades. pues los dígitos que forman los números son unidades
concatenadas.
Se forma la tabla o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de la
misma la cifra de las unidades del resultado de calcular xy. En el eje de las abscisas hay formas de
números y en el de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U indefinidamente en bloques
cada 4 columnas, formando cuaternas.
En resúmen, U es la matriz simplificada de
Y 0 1 2 ...
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz U de las unidades para todo n e N es:
x y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 4 8 6
3 3 9 7 1
4 4 6 4 6
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 9 3 1
8 8 4 2 6
9 9 1 9 1
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NOMENCLATURA PARA LAS FORMAS DE LAS CUATERNAS DE U
Elementos de la cuaterna de U pertenecen a la misma forma si son iguales topológicamente.
Se indica a la derecha la unidad inicial de cada forma de las cuaternas.
Las formas de las cuaternas son:
{4n+1} e1 → e1 = 2
{4n+2} e2 → e2 = 3
{4n+3} e3 → e3 = 7
{4n+4} e4 → e4 = 8
{4n+1, 4n+2} -
{4n+1, 4n+3} e51 → e51 = 4
{4n+1, 4n+4} -
{4n+2, 4n+3} -
{4n+2, 4n+4} e52 → e52 = 9
{4n+3, 4n+4} -
{4n+1, 4n+2, 4n+3} -
{4n+1, 4n+2, 4n+4} -
{4n+1, 4n+3, 4n+4} -
{4n+2, 4n+3, 4n+4} -
{4n+1, 4n+2, 4n+3, 4n+4} e6 → 0 = e61
→ 1 = e62
→ 5 = e63
→ 6 = e64
Las formas a las que no corresponde unidad no existen en U.
RELACIONES DE EQUIVALENCIA EN LAS CUATERNAS DE U
0, 1, 5, 6 - e61, e62, e63, e64 (elementos distintos obtenidos de igual forma)
CORRESPONDENCIA
2, 3, 7, 8 - e1 , e2, e3 , e4 (elementos distintos obtenidos de distinta forma)
APLICACIÓN BIYECTIVA
4, 9 - e51, e52 (pares similares obtenidos de distinta forma)
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FUNCIÓN DE ENCRIPTACIÓN
Sean los conjuntos: N de los números naturales,
U = { u i } i e N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } de las unidades, y
F = { e6 , e6 , e1 , e2 , e51, e6 , e6 , e3 , e4 , e52} de las formas de las cuaternas de U,
con 0 ≤ u i ≤ 9, 1 ≤ e i ≤ 6, u i ∈ U, e i ∈ F, e i, n ∈ N,
Una encriptación no biyectiva de U es: { e6, e6, e1, e2, e51, e6, e6 , e3, e4 , e52}
Cambiando los elementos e6∈F por los correspondientes elementos e61, e62, e63, e64 de F' ,
donde F' = { e61 , e62 , e1 , e2 , e51, e63 , e64 , e3 , e 4 , e52}
queda U con una encriptación (biyectiva) así: {{e61, e62, e1, e2, e51, e63, e64, e3, e4 , e52}
Demostración:
Se definen las funciónes f : N → U, g : U → F y h = f o g : N → F dadas por
f ( n ) = u i ( cifra de las unidades de n ) y g ( u i ) = e i ( formas de las unidades )
Se hace la descomposición decimal n = ∑ u i * 10 i y f ( n ) = u 0
i ∈ N
f es lineal y h no biyectiva, pues g no lo es.
Demostración de la linealidad:
Se definen la familia de las funciones multilineales { f i } i ∈ N, con f i : N → U,
haciendo corresponder cada función f i a un número su cifra de las unidades siendo
f i ( n ) = u i∈U y g ( u i ) = e i ∈F
15
Notas:
a) f = { f i } i ∈ N = { f1 , f 2 , . . . , f i . . . . . } i ∈ N
b) Se hace la descomposición decimal n = ∑ u i * 10 i y f ( n ) = u 0
i ∈ N
c) La cifra de las unidades de la unidad es la propia unidad, o sea, f i ( u i ) = u i .
Así, la encriptación h: f o g : N → F es:
h ( n ) = ( f o g ) ( n ) = g ( f ( n ) ) = g ( f ( ∑ u i * 10 i ) = g ( ∑ f ( u i ) * 10 i ) ) =
i ∈ N i ∈ N
g ( ∑( f 1, f 2, . . . , f i , . . . . . ) ( u i ) * 10 i ) = g ( { f 1 ( u 1 ), f 2 ( u 2 ) , . . . , f i ( ui i ) , . . } ) i ∈ N =
i ∈ N
{ g ( f 1 ( u 1 ) ), g ( f 2 ( u 2 ) ), . . . . . , g ( f i ( u i ) ) , . . . } i ∈ N =
{ ( f i o g ) ( u 1 ), ( f 2 o g ) ( u 2 ), . . . . . , ( f i o g ) ( u i) , . . . } i ∈ N =
{ ( f i o g ) ( u 1 , u 2 , . . . . . u i , . . . ) } i ∈ N = { h ( u 1 , u 2 , . . . . . u i , . . . ) } i ∈ N =
h ( n ) = { e61 , e62 , e1 , e2 , e51, e63 , e64 , e3 , e4 , e52 }∈ F, con
g ( { u 1 , u 2 , . ., u i, , . . . . . } ) = { e61 , e62 , e1 , e2 , e51, e63 , e64 , e3 , e4 , e52 } ∈ F, pues f = 1U(identidad )
Está bien definida h.
Por ejemplo, una encriptación del número 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 es,
-según las unidades del eje de ordenadas de U:
h { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e6 e6 e1 e2 e51 e6 e6 e3 e4 e52 }
-si queremos que sea la encriptación biyectiva:
h ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = { e61 e62 e1 e2 e51 e63 e64 e3 e4 e52 }
-según las formas del eje de abscisas de U (no biyectiva):
h ' ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } = {e6e6e6e6 e6e6e6e6 e1e2e3e4 e1e2e3e4
e51e6e51e6 e6e6e6e6 e6e6e6e6 e1e2e3e4 e1e2e3e4 e52e6e 52e6 }
16
-siendo su correspondiente biyectiva:
h ' ' ' { 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 } ={e61e61e61e61 e62e62e62e62 e1e2e3e4 e1e2e3e4
e51e6e51e6 e63e63e63e63 e64e64e64e64 e1e2e3e4 e1e2e3e4 e52e6e 52e6 }
Las encriptaciones no biyectivas son más dificiles de descifrar e las biyectivas.
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ESTADÍSTICAS DE LOS NÚMEROS
Se forma la tabla o matriz (llamada matriz U de las Unidades), siendo los elementos de la
misma la cifra de las unidades del resultado de calcular xy. En el eje de las abscisas hay formas de
números y en el de las ordenadas las unidades, repitiéndose la matriz U indefinidamente en bloques
cada 4 columnas, formando cuaternas.
En resúmen, U es la matriz simplificada de
Y 0 1 2 ...
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...
0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
1 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
2 1 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 ...
3 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 1 ...
4 1 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6 ...
5 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
6 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
7 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 3 1 ...
8 1 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 ...
9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 ...
O sea, la matriz U de las unidades (reducida o explicita) para todo n e N es:
x y 4n+1 4n+2 4n+3 4n+4
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 4 8 6
3 3 9 7 1
4 4 6 4 6
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6
7 7 9 3 1
8 8 4 2 6
9 9 1 9 1
18
En la matriz reducida o explícita:
n → f (n) = {O(2), D2IO(2), AC(4), B2F(2)}
Nominamos:
A = {4n+1} 2387
B = {4n+2} 4292
C = {4n+3} 8732
D = {4n+4} 6212
E = {4n+1, 4n+2} -
F = {4n+1, 4n+3} 49
G ={4n+1, 4n+4} -
H ={4n+2, 4n+3} -
I ={4n+2, 4n+4} 61
J = {4n+3, 4n+4} -
K ={4n+1, 4n+2, 4n+3} -
L = {4n+1, 4n+2, 4n+4} -
M ={4n+1, 4n+3, 4n+4} -
N = {4n+2, 4n+3, 4n+4} -
O = {4n+1, 4n+2, 4n+3, 4n+4} 5601
19
Con estas estadísticas se ponen las unidades en los ejes y las letras en la matriz:
5 6 7 0 1 4. 9 2. 3 .8
A1 5 O → f1 (5) = F (A1) = O
A2 6 D2IO → f2 (5) = F (A2) = D2IO
A3 7 AC → f3 (5) = F (A3) = AC
A4 0 O → f4 (5) = F (A4) = O
A4 1 D2IO → f4 (5) = F (A4) = D2IO
A5 4, 9 B2F → f5 (5) = F (A5) = B2F
A6 2, 3, 8 AC → f6 (5) = F (A6) = AC
fi (5) = F (Ai)
Más explicitamente:
5 6 7 0 1 4 9 2 3 8
A1 5 O
A2 6 D2IO
A3 7 AC
A4 0 O
A4 1 D2IO
A5 4 B2F/2
A5 9 B2F/2
A6 2 AC/3
A6 3 AC/3
A6 8 AC/3
20
NOTA
También se puede utilizar para extraer estadísticas lo siguiente:
El
conjunto G = {n ∈
N I 0 ≤ n ≤ 9} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se puede
clasificar
dotándolo de la relación R: G ---> G
definida por:
y1
R(n)={m∈G
I la extensión del ciclo observado al calcular cada
dígito de m
v
y2
es igual
que la del observado al calcular ese mismo dígito en n
,
para cada n∈G, ∀y1∈N
y ∀y2∈N},
y que determina la siguiente partición de G:
℘ =
{{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
Se
tiene pues la partición de G: ℘
= {{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
=
{{{5}, {6}, {7}}, {{0, 1}, {4, 9}}, {2, 3, 8}}
= {Ai} con 1 ≤ i ≤ 6
y
por tanto: A1 =
{5}
A2 =
{6}
A3 =
{7}
A4 =
{0, 1}
A5 =
{4, 9}
A6 =
{2, 3, 8}
21
CONJETURA SOBRE LA MATERIA OSCURA
Y
LAS COORDENADAS DE LOS NÚMEROS
Leer
"Divagando e indagando con las unidades matemáticas" de
Carlos Torres Miranda. Editorial Pirineo
El
conjunto G = {n ∈
N I 0 ≤ n ≤ 9} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}Ɍʀ
se puede clasificar
dotándolo
de la relación R: G ---> G definida por:
y1
R(n)={m∈G
I la extensión del ciclo observado al calcular cada
dígito de m
y2
es
igual que la del observado al calcular ese mismo dígito en
n ,
para
cada n∈G, ∀y1∈N
y ∀y2∈N},
y que determina la siguiente partición de G:
℘ =
{{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
Se
tiene pues la partición
de G: ℘
= {{5}, {6}, {7}, {0, 1}, {4, 9}, {2, 3, 8}}
=
{{{5}, {6}, {7}}, {{0, 1}, {4, 9}}, {2, 3, 8}}
=
{Ai} con 1 ≤ i ≤ 6
y
por tanto: A1 =
{5}
A2 =
{6}
A3 =
{7}
A4 =
{0, 1}
A5 =
{4, 9}
A6 =
{2, 3, 8}
Nº
de unidades de los subconjuntos Ai →
1+1+1+2+2+3 = 10 →
→ materia oscura
'Combinaciones' en los dígitos de los subconjuntos Ai → 1.1.1.2.2.3 = 12
→ materia total
Diferencia = 12 – 10 = 2 →
→ materia observable
Porcentajes en el universo:
% de materia observable: 2 / 12 = 1 / 6
% de materia oscura : 10 / 12 = 0 ' 83
22
EJEMPLO:
a) Coordenadas de 1234567890
1234567890 → {(Ai, Mk)}1≤i≤6 =
k≥0, keN
= {(A2, M9), (A1, M8), (A1, M7), (A3, M6), (5, CM),
(6, DM), (7, UM), (A1, C), (A3, D), (A2, U)} =
= 1234567890, 1234567891, 1234567840, 1234567841,
1234567390, 1234567391, 1234567340, 1234567341,
1234567290, 1234567291, 1234567240, 1234567241,
cambiar 4 por 9)
1239567890, 1239567891, 1239567840, 1239567841,
1239567390, 1239567391, 1239567340, 1239567341,
1239567290, 1239567291, 1239567240, 1239567241,
3 por 8)
1284567890, 1284567891, 1284567840, 1284567841,
1284567390, 1284567391, 1284567340, 1284567341,
1284567290, 1284567291, 1284567240, 1284567241,
1289567890, 1289567891, 1289567840, 1289567841,
1289567390, 1289567391, 1289567340, 1289567341,
1289567290, 1289567291, 1289567240, 1289567241,
3 por 2)
1224567890, 1224567891, 1224567840, 1224567841,
1224567390, 1224567391, 1224567340, 1224567341,
1224567290, 1224567291, 1224567240, 1224567241,
1229567890, 1229567891, 1229567840, 1229567841,
1229567390, 1229567391, 1229567340, 1229567341,
1229567290, 1229567291, 1229567240, 1229567241,
2 por 8 )
1834567890, 1834567891, 1834567840, 1834567841,
1834567390, 1834567391, 1834567340, 1834567341,
1834567290, 1834567291, 1834567240, 1834567241,
1839567890, 1839567891, 1839567840, 1839567841,
1839567390, 1839567391, 1839567340, 1839567341,
1839567290, 1839567291, 1839567240, 1839567241,
1884567890, 1884567891, 1884567840, 1884567841,
1884567390, 1884567391, 1884567340, 1884567341,
1884567290, 1884567291, 1884567240, 1884567241,
1889567890, 1889567891, 1889567840, 1889567841,
1889567390, 1889567391, 1889567340, 1889567341,
1889567290, 1889567291, 1889567240, 1889567241,
23
1824567890, 1824567891, 1824567840, 1824567841,
1824567390, 1824567391, 1824567340, 1824567341,
1824567290, 1824567291, 1824567240, 1824567241,
1829567890, 1829567891, 1829567840, 1829567841,
1829567390, 1829567391, 1829567340, 1829567341,
1829567290, 1829567291, 1829567240, 1829567241,
2 por 3)
1334567890, 1334567891, 1834567840, 1834567841,
1334567390, 1334567391, 1834567340, 1834567341,
1334567290, 1334567291, 1834567240, 1834567241,
1339567890, 1339567891, 1839567840, 1839567841,
1339567390, 1339567391, 1839567340, 1839567341,
1339567290, 1339567291, 1839567240, 1839567241,
1384567890, 1384567891, 1884567840, 1884567841,
1384567390, 1384567391, 1884567340, 1884567341,
1384567290, 1384567291, 1884567240, 1884567241,
1389567890, 1389567891, 1889567840, 1889567841,
1389567390, 1389567391, 1889567340, 1889567341,
1389567290, 1389567291, 1889567240, 1889567241,
1324567890, 1324567891, 1824567840, 1824567841,
1324567390, 1324567391, 1824567340, 1824567341,
1324567290, 1324567291, 1824567240, 1824567241,
1329567890, 1329567891, 1829567840, 1829567841,
1329567390, 1329567391, 1829567340, 1829567341,
1329567290, 1329567291, 1829567240, 1829567241,
cambiar 1 inicial por 0 en los números anteriores)
0234567890, 0234567891, 0234567840, 0234567841,
0234567390, 0234567391, 0234567340, 0234567341,
0234567290, 0234567291, 0234567240, 0234567241,
0239567890, 0239567891, 0239567840, 0239567841,
0239567390, 0239567391, 0239567340, 0239567341,
0239567290, 0239567291, 0239567240, 0239567241,
0284567890, 0284567891, 0284567840, 0284567841,
0284567390, 0284567391, 0284567340, 0284567341,
0284567290, 0284567291, 0284567240, 0284567241,
0289567890, 0289567891, 0289567840, 0289567841,
0289567390, 0289567391, 0289567340, 0289567341,
0289567290, 0289567291, 0289567240, 0289567241,
0224567890, 0224567891, 0224567840, 0224567841,
0224567390, 0224567391, 0224567340, 0224567341,
0224567290, 0224567291, 0224567240, 0224567241,
0229567890, 0229567891, 0229567840, 0229567841,
0229567390, 0229567391, 0229567340, 0229567341,
0229567290, 0229567291, 0229567240, 0229567241,
24
0834567890, 0834567891, 0834567840, 0834567841,
0834567390, 0834567391, 0834567340, 0834567341,
0834567290, 0834567291, 0834567240, 0834567241,
0839567890, 0839567891, 0839567840, 0839567841,
0839567390, 0839567391, 0839567340, 0839567341,
0839567290, 0839567291, 0839567240, 0839567241,
0884567890, 0884567891, 0884567840, 0884567841,
0884567390, 0884567391, 0884567340, 0884567341,
0884567290, 0884567291, 0884567240, 0884567241,
0889567890, 0889567891, 0889567840, 0889567841,
0889567390, 0889567391, 0889567340, 0889567341,
0889567290, 0889567291, 0889567240, 0889567241,
0824567890, 0824567891, 0824567840, 0824567841,
0824567390, 0824567391, 0824567340, 0824567341,
0824567290, 0824567291, 0824567240, 0824567241,
0829567890, 0829567891, 0829567840, 0829567841,
0829567390, 0829567391, 0829567340, 0829567341,
0829567290, 0829567291, 0829567240, 0829567241,
0334567890, 0334567891, 0834567840, 0834567841,
0334567390, 0334567391, 0834567340, 0834567341,
0334567290, 0334567291, 0834567240, 0834567241,
0339567890, 0339567891, 0839567840, 0839567841,
0339567390, 0339567391, 0839567340, 0839567341,
0339567290, 0339567291, 0839567240, 0839567241,
0384567890, 0384567891, 0884567840, 0884567841,
0384567390, 0384567391, 0884567340, 0884567341,
0384567290, 0384567291, 0884567240, 0884567241,
0389567890, 0389567891, 0889567840, 0889567841,
0389567390, 0389567391, 0889567340, 0889567341,
0389567290, 0389567291, 0889567240, 0889567241,
0324567890, 0324567891, 0824567840, 0824567841,
0324567390, 0324567391, 0824567340, 0824567341,
0324567290, 0324567291, 0824567240, 0824567241,
0329567890, 0329567891, 0829567840, 0829567841,
0329567390, 0329567391, 0829567340, 0829567341,
0329567290, 0329567291, 0829567240, 0829567241
Total:
2.3.3.2.1.1.1.3.2.2=432 números coordenan el nº 1234567890
b) Coordenadas de 567
567 → 567 (1 número)
25
c) Coordenadas de 1, 0, 10 y 01
1 → 0, 1 (2 números)
0 → 0, 1
10 → (0, 1)(0, 1)
01 → (0, 1)(0, 1)
d) Coordenadas de 3
3 → 2, 3, 8 (3 números)
e) Coordenadas de 5
5 → 5
Nota: Se supone en este caso el sistema de numeración decimal.
26
